几何分布的期望与方差

几何分布的期望与方差

高中数学教科书新版第三册(选修II)比原来的修订本新增加随机变量的几何分布,但书中只给出了结论:(1),(2),而未加以证明。本文给出证明,并用于解题。

1)由,知

下面用倍差法(也称为错位相减法)求上式括号内的值。记

两式相减,得

,知,则,故

从而

也可用无穷等比数列各项和公式(见教科书91页阅读材料),推导如下:

相减,

还可用导数公式,推导如下:

上式中令,则得

2)为简化运算,利用性质来推导(该性质的证明,可见本刊6页)。可见关键是求

对于上式括号中的式子,利用导数,关于q求导:,并用倍差法求和,有

,因此

利用上述两个结论,可以简化几何分布一类的计算问题。

1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球,现从中每次摸取一个球,取出黑球就放回,取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望与方差

解:每次从袋内取出白球的概率,取出黑球的概率的取值为1,2,3,……,有无穷多个。我们用表示前k-1次均取到黑球,而第k次取到白球,因此

。可见服从几何分布。所以

2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p(0

解:射手射击次数的可能取值为1,2,…,9,10。

,则表明他前次均没击中目标,而第k次击中目标;若k=10,则表明他前9次都没击中目标,而第10次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为

用倍差法,可求得

所以

说明:本例的试验是有限次的,并且,不符合几何分布的概率特征,因而随机变量不服从几何分布,也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。