【本讲教育信息】

一. 教学内容：

1. 投影与直观图

2. 三视图

3. 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

4. 柱、锥、台和球的体积

二. 教学目的

1、了解中心投影、平行投影和正投影的主要特征和关系，会使用材料制作长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的模型，会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图。会画出某些建筑物或零件的直观图。

2、理解和掌握三视图的概念及画法，能识别简单物体的三视图，会画简单几何体（组合体）的三视图。通过经历“多角度观察物体”的活动过程，培养学生的空间想象力，发展学生的空间思维能力，使他们能在与他人交流的过程中，合理清晰地表达自己的思维过程。

3、能够推导棱柱、棱锥、棱台表面积公式，掌握推导方法（球的表面积公式不用推导），了解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积公式（上述公式不要求记忆），在学习过程中，进一步加强空间与平面问题相互转化的思想方法的应用。

4、理解“祖暅原理”，并尝试以长方体体积公式和“祖暅原理”为基础推导柱、锥、台的体积公式，了解推导方法（球的体积公式不用推导），了解柱、锥、台和球的体积公式（上述公式不要求记忆），并会运用这些公式解决一些简单的问题。

三. 教学重点、难点

【教学重点】

1、平行投影的性质和斜二测画法。

2、正投影与三视图的画法以及应用。

3、棱柱、棱锥和棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面问题相互转化的思想方法的应用。

4、棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，“祖暅原理”充分地体现了空间与平面问题的相互转化的思想方法。

【教学难点】

1、正确地把握斜二测画法的要点（如：所画出的直观图中的虚实线、平行关系和长度比例等）以及选择放置直观图的角度。

2、三视图的画法以及应用。

3、棱柱、棱锥和棱台的表面积公式的应用。

4、“祖暅原理”的理解和棱柱、棱锥和棱台的体积公式的应用。

四. 知识分析

1、平行投影和中心投影

投影：投射线通过物体，向选定的面投射，在该面上得到的图形叫做原物体在这个面上的投影。这里我们涉及的是平行投影和中心投影。

平行投影：已知图形F，直线a与平面α相交，过F上任一点M作直线MM₀平行于a，交平面α于M₀，则点M₀叫做点M在平面α内关于直线a的平行投影（或象）。

如果图形F上的所有点在平面α内关于直线a的平行投影构成图形F₀，则F₀叫做图形F在平面α内关于直线a的平行投影。

在这里，平面α叫做投射面，直线a叫做投射线。

中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影。

平行投影 中心投影

注意：

（1）构成平行投影的三个要素是：投射线、投射面和被投射的物体。

（2）投射线和被投射的物体不一定垂直。被投射的如果是平面图形，这个平面图形与投射面不一定平行。（如上图左）

（3）投射线和投射面也不一定垂直。当投射线和投射面垂直时，所得的物体的平行投影，叫做正投影。

（4）共线点的平行投影一般仍共线；当所在的直线平行于投射线时，它们的平行投影重合为一点。

（5）两相交直线的平行投影一般仍相交；当它们所在的平面平行于投射线时，它们的平行投影为一直线。

（6）两平行直线的平行投影一般是平行的直线；当它们所在的平面平行于投射线时，它们的平行投影可能为一直线，也可能是两个点。

（7）不与投射线平行的两平行线段的比，等于它们的平行投影的比。

（8）平行与投射面的平面图形的平行投影与原图形全等。

（9）两不同物体（或平面图形）在同一投射面上的关于同一投射线的平行投影可能重合。如上图左的平面图形F与F＇在投射面α上的关于投射线a的平行投影都是F₀。

2、平行投影的性质

① 直线或线段的平行投影仍是直线或线段。

② 平行直线的平行投影是平行或重合的直线。

③ 平行于投射面的直线，它的投影与这条线段平行且等长。

④ 与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等。

⑤ 在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比。

3、直观图和斜二测画法

直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图。

斜二测画法是一种较为简单的画直观图的方法，其规则为：

①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°。

②画直观图时，把它画成对应的轴O＇x＇、O＇y＇、O＇z＇，使∠ x＇O＇y＇＝ 45°（或135°），∠ x＇O＇z＇＝ 90°，x＇O＇y＇所确定的平面表示水平平面。

③已知图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴、z＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同。

④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图。

注意：

①斜二测画法的作图规则可以简要地说成：竖直或水平方向放置的线段画出时方向、长度保持不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成45°或135°角，长度画成原长度的一半。（仍表示原长度）

②用斜二测画法画水平放置的圆的直观图时，通常采取的是“正等测画法”，此时圆画成椭圆。

③斜二测画法是画几何体直观图的主要方法，只要求能够运用斜二测画法的画图规则正确地画图和看图，不要求表达作图过程。

4、正投影（投射线与投射面垂直的平行投影）的性质

垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；

垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分。

注意：

（1）正投影能如实地反映物体的形状和大小，画图也很方便，所以生产上的图样主要是用这种方法绘制。

（2）作物体的正投影，观察和思考的过程是这样的：

把要作投影的物体放在投影面和观察者的中间，按观察者――物体――投影面的顺序摆好，由观察者的眼睛假想发出一束平行的投影线，这些投影线经过物体轮廓线上的顶点后，与投影面垂直相交，交点连接起来的图形，就是物体的正投影。

5、三视图

（1）什么是三视图？

选取三个两两垂直的平面作为投射面：

一个水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；

一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；

和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图；

将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图。

例如上图，一个长方体的侧面分别平行于三个投射面，把它向三个投射面投影：

它的主视图是一个矩形，它表示长方体的高度和长度；

它的俯视图也是一个矩形，它表示长方体的长度和宽度；

它的左视图还是一个矩形，它表示长方体的宽度和高度。

把这三个投影图放在一个平面内，并按一定的布局排列，这个图就是三视图（上图右）。

（2）三视图的排列规则：

俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样，为了便于记忆，通常说：“长对正，高平齐，宽相等。”或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽。”

注意：三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。

6、如何画组合体的三视图？

组合体比基本几何体复杂，但来源于基本几何体，只要先分析组合形式，把组合体分解为基本几何体，再按一个一个基本几何体画图，就可以画出组合体的三视图。

如下图所示的组合体是由圆柱体和长方体两个基本几何体组成，可分别作出三视图再依情况组合。

7、柱、锥、台体的侧面积与表面积

（1）直棱柱和正棱锥的表面积

设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱的侧面积公式是：S_{直棱柱侧面积}＝ch

即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积。

设正棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h＇，则正棱锥的侧面积公式是：

S_正棱锥侧 ＝nah＇＝ch＇

即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高的乘积的一半。

棱柱和棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。

（2）正棱台的表面积

设棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a＇，周长为c＇，斜高为h＇，则正棱台的侧面积公式

S_正棱台侧 ＝n（a＋a＇）h＇＝（c＋c＇）h＇

棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。

8、柱、锥、台体的侧面积公式的联系

9、球的表面积

半径为R的球的表面积 S_球＝4πR²，即球面面积等于它的大圆面积的四倍。

10、长方体的体积：V_长方体＝abc=Sh

11、祖暅原理：幂势即同，则积不容异。

这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个

截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。应用祖暅原理可以说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。

12、棱柱和圆柱的体积

柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积，即V_柱体＝Sh

底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V_圆柱＝πr²h

13、棱锥和圆锥的体积

如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V_锥体＝Sh

如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是V_圆锥＝πr²h

14、棱台和圆台的体积

如果台体的上、下底面面积分别是S＇、S，高是h，则它的体积是 V_台体＝h（S++S＇）

如果圆台的上、下底面的半径分别是r＇、r，高是h，则它的体积是V_圆台＝πh（r²+rr＇+r＇² ）

15、球的体积

半径为R的球的体积 V_球＝ πR³，

注意：以上公式都不要求记忆。

【典型例题】

例1. 有两根木棒AB、CD在同一平面上竖着，其中AB这根木棒在太阳光下的影子BE如下图所示，则CD这根木棒的影子DF应如何画？

分析：利用平行投影的相关性质。

解析：画法：

（1）连接AE

（2）过点C作CF//AE

（3）过点D作DF//BE，交CF于F，则DF即为所求。

点评：要解决此题首先要知道这两个物体都是竖直在地面上，而且是由太阳光即平行光所照射，则可知连接AE，过C点作CF平行AE，作DF//BE，交点为F，则DF为所求CD的影子。通过本题理解平行投影的性质。

例2. 用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图。

分析：建立坐标系xOy后，B、E两点不在平行于坐标轴的直线上，故需作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H。

画法：（1）如图（a）所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，过点O与y轴垂直的直线为x轴，分别过B、E作GB // y轴，HE // y轴，与x轴分别交于点G、H。画对应的轴O＇x＇、O＇y＇，使 ∠ x＇O＇y＇＝ 45⁰

（a） （b） （c）

（2）如图（b）所示，以点O＇为中点，在x＇轴上取G＇H＇＝GH，分别过G＇、H＇，在 x＇轴上方，作G＇B＇// y＇轴, 使G＇B＇＝GB；作E＇H＇// y＇轴，使E＇H＇＝EH；在y＇轴的点O＇上方取O＇A＇＝OA,在点O＇下方取O＇F＇＝OF, 并且以点F＇为中点，画C＇D＇// x＇轴，使C＇D＇＝CD。

（3）连结A＇B＇、B＇C＇、C＇D＇、D＇E＇、E＇A＇，所得五边形A＇B＇C＇D＇E＇就是正五边形ABCDE的直观图，如图（c）所示。

点评：在直观图中确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点。

例3. 如图所示，△A＇B＇C＇是 水平放置的平面图形的斜二测直观图，试将其恢复成原图形。

分析：对用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的过程进行逆向思维。

解析：（1）画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O＇A＇，即 CA=C＇A＇

（2）在直观图中，过B＇作B＇D＇// y＇轴，交x＇轴于D＇。 在 x 轴 上取OD= O＇D＇，过 D作BD//x轴，并使DB＝2 D＇B＇。

（3）连接AB、BC，则△ABC即为△A＇B＇C＇原来的图形。

点评：恢复原图形原理与画直观图的原理很像，但过程正相反，用时多体会两种过程的异同之处。

例4. 如图所示四棱台ABCD－A₁B₁C₁D₁中，上底是边长为2cm的正方形，下底是边长为3cm的正方形，上、下底面间的距离为2cm，作出它的三视图。

解析：依题意，可以画出它的三视图如下：

点评：（1）理解好三视图的概念是关键，三视图中“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”。

（2）一个几何体的三视图与几何体所放的位置有关，并且三视图不一定能反映几何体的形状。

（3）三视图能较好地反映几何体各部分原来尺寸的大小。

例5. 如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图。

（1） （2）

解析：由三视图可知该几何体是一个正六棱台。

（1）画轴。如图（1），画x轴，y轴，z轴，使∠xOz＝90°

（2）画两底面。由三视图知该几何体为正六棱台，用斜二测画法画出底面ABCDEF，在z轴上截取OO＇，使OO＇等于三视图中相应的高度，过O＇作Ox的平行线O＇x＇ ，Oy的平行线O＇y＇ ，利用O＇x＇ 与O＇y＇画出底面A＇B＇C＇D＇E＇F＇。

（3）成图。连接A＇A、B＇B 、C＇C 、D＇D 、E＇E 、F＇F，整理得到三视图表示的几何体的直观图（如图（2））。

点评：由三视图画几何体的直观图需要较强的空间想象力。能认清几何体的形状与大小，是解决此类问题的核心。

例6. 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q₁，Q₂，求直平行六面体的侧面积。

分析：解决本题要首先把握直平行六面体的结构特征，直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形。

解析：如图所示，设底面两条面对角线AC＝c，BD＝d，侧棱长为m，

依题意，有，

根据菱形的性质，得菱形的边长

AB＝

所以，该直平行六面体的侧面积为 S_侧＝4AB·m＝

点评：此题需大胆设元（辅助变量），为列方程方便，可以将对角线设出，但设而不解，这需要将a与m的乘积看作一个整体进行计算。

例7. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm²和400πcm²，求球的表面积。

分析：可画出球的轴截面。利用球的截面性质，求球的半径。

解析：如图，为球的轴截面。由球的截面性质知，AO₁//BO₂，且O₁、O₂分别为两截面圆的圆心，则OO₁⊥AO₁，OO₂⊥BO₂。

设球的半径为R。

设OO₁＝x cm，则OO₂=（x＋9）cm

在Rt△OO₁A中，R²＝x²＋20²，

在Rt△OO₂B中，R²＝（x＋9）²＋7²，

所以x²＋20²＝（x＋9）²＋7²，解得x＝15。所以R²＝x²＋20²＝25²，从而R＝25。

于是S_球＝4πR²＝2500π（cm²），即球的表面积为2500πcm²。

点评：研究球内的问题，很多时候可以由圆的知识类比而来。本题求球的半径的过程实际上就是从圆内进行的，利用轴截面解决问题也是出于这个原因。

例8. 求棱长为a的正四面体的内切球的体积。

解析：设内切球的半径为r，棱长为a的正四面体的底面积为，高为

，

所以。

以内切球的球心为顶点，以四面体的面为底面的四个三棱锥的底面积都为，高都为r，这样的话，正四面体的体积还可以写成＝，所以。

所以。

点评：球内切于多面体时，球心到多面体每个面的距离等于球的半径。多面体的体积等于多面体的表面积与球半径乘积的。

例9. 粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图所示，它的两底面边长分别是80 mm和440 mm，高是200 mm，计算：

（1）这个下料斗的体积；

（2）制造这样一个下料斗所需铁板的面积（保留两个有效数字）？

分析：要求下料斗所需铁板的面积，就是求正四棱台的侧面积。正四棱台的侧面积公式是S_侧＝（c＋c＇）h＇。

解析：（1）因为S_上＝440²mm²，S_下＝80² mm²，h＝200 mm

（2）下底面周长c＇＝4×80＝320mm，

下底面周长c＝4×440＝1760mm，

斜高h＇＝

S_正棱台侧＝（c＋c＇）h＇＝（1760＋320）×269≈2.8×10⁵（mm²）

答：这个下料斗的体积约为1.6×10⁷mm³，制造这样一个下料斗需铁板约2.8×10⁵mm²。

点评：对于实际问题，须分清是求几何体的表面积，还是求侧面积，还是求侧面积与一个底面面积的和，还是求体积。

【模拟试题】

1. 下列命题中真命题的个数是（ ）

①正方形的平行投影一定是菱形

②平行四边形的平行投影一定是平行四边形

③三角形的平行投影一定是三角形

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

2. 水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A₁B₁C₁，则△ABC是（ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形

C. 钝角三角形 D. 任意三角形

3. 如图所示的正方体中，E、F分别是AA₁,D₁C₁的中点，G是正方形BDB₁D₁的中心，则空间四边形AGEF在该正方体面上的投影不可能是（ ）

A B C D

4. 正方体的全面积是a²，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）

A. B. C. D.

5. 圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的（ ）

A. 4倍 B. 3倍 C. 倍 D. 2倍

6. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S，那么圆柱的体积为（ ）

A. B. C. D.

7. 一棱台上、下底面面积之比是1∶4，它的中截面将此棱台分成的上、下两部分的体积之比是（ ）

A. 1∶8 B. 3∶8 C. 19∶37 D. 117∶387

8. 如图所示，在三棱锥A－BCD中，V_A-BPQ＝6，V_B-CPQ=2，V_C-DPQ=8, 则V_A-BCD等于（ ）

A. 40 B. 28 C. 24 D. 20

9. 下列三视图所表示的几何体是_______________

主视图 左视图 俯视图

10. 已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是____

11. 把一个大金属球表面涂漆，需油漆2.4kg，若把这个金属球熔化，制成64个半径相等的小金属球（设损耗为零），将这些金属球表面涂漆，需用油漆_______________

12. 已知六棱锥P－ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2cm，侧棱长为3cm，求六棱锥P－ABCDEF的表面积。

13. 如图，三棱锥P－ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60⁰，求三棱锥P－ABC的体积。

14. 如图圆锥形封闭容器的高为h，容器内水面高为h₁, h₁=,若将容器倒置后，水面的高度为h₂，求h₂。

【试题答案】

1～8：ACDBDACA

9. 直三棱柱 10. 11. 9.6kg

12. cm²

13.

14.