辅助角公式在高考三角题中的应用
柳毓
对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:
y=asinx=bcosx
。
由于上式中的与的平方和为1,故可记=cosθ,=sinθ,则
由此我们得到结论:
asinx+bcosx=,(*)其中θ由来确定。
通常称式子(*)为辅助角公式,它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin()+k的形式。
下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析。
一. 求周期
例1 (2006年上海卷选)求函数的最小正周期。
解:
所以函数y的最小正周期T=π。
评注:将三角式化为y=Asin()+k的形式,是求周期的主要途径。
二. 求最值
例2. (2003年北京市)已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若,求f(x)的最大值和最小值。
解:f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=。
由。
当,即x=0时,最小值;当时取最大值1。
从而f(x)在上的最大值是1,最小值是。
三. 求单调区间
例3. (2005年江西省)已知向量,,令,求函数f(x)在[0,π]上的单调区间。
解:
先由。
反之再由。
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减。
评注:以向量的形式给出条件或结论,是近两年来三角命题的新趋势,但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(ωx+)+k的形式,是求单调区间的通法。
四. 求值域
例4. 求函数
的值域。
解:
所以函数f(x)的值域是[-4,4]。
五. 画图象
例5. (2003年新课程)已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx),画出函数y=f(x)在区间上的图象。
解:
由条件。
列表如下
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0 |
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2 |
1 |
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1 |
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2 |
描点连线,图象略。
六. 图象对称问题
例6. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称,那么a=( )
(A) (B) (C)1 (D)-1
解:可化为
知时,y取得最值,即
七. 图象变换
例7(2000年全国)已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解:
可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换:
(1)向左平移,得到y=sin(x+)的图象;
(2)将(1)中所得图象上各点横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得y=的图象;
(3)将(2)中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍,横坐标不变,得y=sin(2x+)的图象;
(4)将(3)中所得图象向上平移个单位长度,得到y=sin(2x+)+的图象。
综上,依次经过四步变换,可得y=的图象。
八. 求值
例8. 已知函数f(x)=+sinxcosx。设α∈(0,π),f()=,求sinα的值。
解:f(x)=
=sin。
由f()=sin(),
得sin()=。
又α∈(0,π)。
而sin,
故α+,则
cos(α+)=。
sinα=sin[]
=sin
=
=。
评注:化为一种角的一次式形式,可使三角式明晰规范。在求sinα时,巧用凑角法:α=(α+)-,并且判断出α+的范围,进而求出cos(α+)的确切值,使整个求值过程方向明确,计算简捷。
九. 求系数
例9. (2005年重庆)若函数f(x)=的最大值为2,试确定常数a的值。
解:f(x)=
=
=,
其中角由sin=来确定。
由已知有,解得a=。
十. 解三角不等式
例10. (2005年全国Ⅲ)已知函数f(x)=sin2x+sin2x,x,求使f(x)为正值的x的集合。
解:f(x)=1-cos2x+sin2x
=1+。
由f(x)>0,有sin2x-
则得2kπ-,
故kπ<x<kπ+。
再由x[0,2π],可取k=0,1,得所求集合是
。