辅助角公式在高考三角题中的应用

柳毓

对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：

y=asinx=bcosx

。

由于上式中的与的平方和为1，故可记=cosθ，=sinθ，则

由此我们得到结论：

asinx+bcosx=，（*）其中θ由来确定。

通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin()+k的形式。

下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。

一. 求周期

例1 （2006年上海卷选）求函数的最小正周期。

解：

所以函数y的最小正周期T=π。

评注：将三角式化为y=Asin()+k的形式，是求周期的主要途径。

二. 求最值

例2. （2003年北京市）已知函数f(x)=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x。若，求f(x)的最大值和最小值。

解：f(x)=(cos²x+sin²x)(cos²x-sin²x)-sin2x=cos2x-sin2x=。

由。

当，即x=0时，最小值；当时取最大值1。

从而f(x)在上的最大值是1，最小值是。

三. 求单调区间

例3. （2005年江西省）已知向量，，令，求函数f(x)在[0，π]上的单调区间。

解：

先由。

反之再由。

所以f(x)在上单调递增，在上单调递减。

评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(ωx+)+k的形式，是求单调区间的通法。

四. 求值域

例4. 求函数

的值域。

^解：

所以函数f(x)的值域是[-4，4]。

五. 画图象

例5. （2003年新课程）已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，画出函数y=f(x)在区间上的图象。

解：

由条件。

列表如下

				0
	2	1		1		2

描点连线，图象略。

六. 图象对称问题

例6. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=( )

（A） （B） （C）1 （D）-1

解：可化为

知时，y取得最值，即

七. 图象变换

例7（2000年全国）已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：

可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换：

（1）向左平移，得到y=sin(x+)的图象；

（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得y=的图象；

（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得y=sin(2x+)的图象；

（4）将（3）中所得图象向上平移个单位长度，得到y=sin(2x+)+的图象。

综上，依次经过四步变换，可得y=的图象。

八. 求值

例8. 已知函数f(x)=+sinxcosx。设α∈（0，π），f()=，求sinα的值。

解：f(x)=

=sin。

由f()=sin()，

得sin()=。

又α∈（0，π）。

而sin，

故α+，则

cos(α+)=。

sinα=sin[]

=sin

=

=。

评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sinα时，巧用凑角法：α=（α+）-，并且判断出α+的范围，进而求出cos(α+)的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。

九. 求系数

例9. （2005年重庆）若函数f(x)=的最大值为2，试确定常数a的值。

解：f(x)=

=

=，

其中角由sin=来确定。

由已知有，解得a=。

十. 解三角不等式

例10. （2005年全国Ⅲ）已知函数f(x)=sin²x+sin2x，x，求使f(x)为正值的x的集合。

解：f(x)=1-cos2x+sin2x

=1+。

由f(x)＞0，有sin2x-

则得2kπ-，

故kπ＜x＜kπ+。

再由x[0,2π]，可取k=0，1，得所求集合是

。