平行线概念解读

渠英

平行线的性质与判定是中考试卷上的高频考点，也是初中平面几何知识的基础。下面就其中的知识点加以说明。

一、三线八角

如图1所示，直线AB、CD分别与直线EF相交（即直线AB、CD被第三条直线EF所截）。

图1

同位角：1和5分别在两交点左上方，是同位角；2和6分别在两交点右上方，是同位角；3和7分别在两交点左下方，是同位角；4和8分别在两交点右下方，是同位角。

内错角：3（交点左下）和6（交点右上）位置在内部左右交错，是内错角；4（交点右下）和5（交点左上）位置在内部左右交错，是内错角。

同旁内角：3（交点左下）和5（交点左上）是同旁内角；4（交点右下）和6（交点右上）是同旁内角。

两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了四对同位角，两对内错角，两对同旁内角，俗称“三线八角”。为了便于记忆，同学们可仿照图2用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）。

图2

例1. （2005年南京市中考题）如图3所示，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为M、N，则EMB的同位角是（ ）。

A. AMF B. BMF

C. ENC D. END

图3

解析：直线AB、CD被直线EF所截，EMB的位置在直线AB的上方，在直线EF的右边，那么在直线CD的上方同时在直线EF的右侧的角便是EMB的同位角，即EMB的同位角是END，应选D。

二、直线平行的条件

如图4所示，两根竹竿a、b与第三根竹竿c相交，竹竿c、b固定不动，将竹竿a绕着交点M顺时针旋转，观察1的变化，同时观察竹竿a与竹竿b所在直线是否相交。当1<2或1>2时，竹竿a所在直线与竹竿b所在直线相交；当1=2时，竹竿a与b平行。1与2是否相等，决定了竹竿a与竹竿b是否平行。

图4

结论：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

通过相似的方法可验证下面的结论成立。

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

例2. （1）木工师傅用角尺在工件上画出两条垂直于底边的垂线a、b（如图5所示），这两条垂线平行吗？为什么？

（2）由此你能得到什么结论？请与同学交流。

图5

解析：（1）a//b。

设工件底边所在直线为c。

因为，所以

1和2是直线a、b被直线c截成的同位角，所以a//b。（同位角相等，两直线平行）

（2）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或垂直于同一条直线的两直线平行。

三、平行线的性质

如图6所示，直线a与直线b平行。

图6

（1）测量同位角1和5，通过比较来确定它们的大小有怎样的关系。（相等）

图中的其他同位角3与7，2与6，4与8的大小也相等。

即两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简称：“两直线平行，同位角相等。”

（2）由于a//b，所以1=5。又因为1=4，所以4=5。

即两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简称：“两直线平行，内错角相等。”

（3）由于a//b，所以1=5。因为1+3=180°，所以3+5=180°。

即两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称：“两直线平行，同旁内角互补”。

例3. （2006年北京市中考题）如图7所示，AD//BC，点E在BD的延长线上，若ADE=155°，则DBC等于（ ）

A. 155° B. 50°

C. 45° D. 25°

图7

解析：因为ADE=155°，所以ADB=25°

因为AD//BC，所以DBC=ADB=25°

应选D。

例4. （2006年浙江省中考题）已知：如图8所示，直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P。试说明P为什么等于90°。

图8

解析：因为EP平分BEF，所以BEF=2PEF

同理，DFE=2PFE

因为AB//CD，所以BEF+DFE=180°。（两直线平行，同旁内角互补）

所以2PEF+2PFE=180°

即PEF+PFE=90°

所以P=90°