例析分式方程的解法

于波

解分式方程的一般步骤是：把方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；解这个整式方程；把整式方程的解代入最简公分母，看结果是不是0，把使最简公分母为0的解舍去。对于某些分式方程也可以采取特殊的方法去解决。

例1. （2006年·临安市）解方程：。

分析：在解分式方程的时候，要把分式方程变为整式方程。原方程的两边都要乘最简公分母，在找最简公分母的时候要先把分式方程变形。

解：去分母得，即。

解之得

检验：当时，最简公分母。

所以是原方程的解。

评注：在解这个分式方程时一定要注意，方程等号右边的常数3也必须乘最简公分母。

例2. 解方程：。

分析：本题中分式的分子、分母均较复杂，需要先把每个分母进行分解，找到最简公分母。

解：原方程可变形为：

即

两边同时乘

得

解得

检验：当时，

所以是原方程的解。

评注：解比较复杂的分式方程的时候，需要把分式方程的每个分母进行分解，然后找到这个分式方程的最简公分母。

例3. 解方程：

分析：按照解字母系数的分式方程的步骤进行，注意题中所给出的条件。

解：方程两边都乘，约去分母，得：

去括号、移项，得

因为，即，所以

评注：由题中给出这一条件可知。在解整式方程时，因为，所以整式方程有解。

例4. 解方程：。

分析：此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答。观察此方程可以发现，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法来解。

解：移项，得：

方程两边通分，得：

即

方程的两边同乘，得：

评注：在解分母含有连续数字或具有特殊间隔规律数字的分式方程时，若直接去分母，运算量很大。若先移项，然后将方程两边分别通分，则出现相同的分子，可以使解分式方程的过程大大简化。

总之，要看清分式方程的特点，采用灵活的方式把分式方程转化为整式方程，在求出整式方程的解之后不要忘记检验。检验的方法有两种：一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验；另一种是把求得的未知数的值代入分式的最简公分母进行检验。

练一练：

1. 解方程。

2. 解方程：。

参考答案：

1. 2.