单摆周期公式的理解和应用

河南 黄正平

单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成．摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供；摆球密度较大，而且球的半径比摆线的长度小得多，这样才可以将摆球看做质点，由摆线和摆球构成单摆．在满足偏角<10°的条件下，单摆的周期．从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关．从受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度（gsin ）越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l和重力加速度g有关．在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s²，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题．

物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效可以套用单摆的周期公式，这类问题称为“等效单摆”．等效单摆在生活中比较常见．除等效单摆外，单摆模型在其他问题中也有应用．

一、等效单摆

等效单摆分等效摆长单摆、等效重力加速度单摆，以及摆长、重力加速度双重等效单摆．等效单摆的周期公式为．

1、等效摆长单摆．等效摆长不再是悬点到摆球球心的距离，但g′=g．摆长L′是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点．

例1 双线摆由两根长为L的细线下端拴一质量为m的小球构成，两线夹角为2，如图1所示，今使摆球在垂直纸面的平面内做小幅度摆动，求其周期．

解析：当双线摆在垂直纸面的平面内做小幅度摆动时可以等效为以AB的中心为悬点，OO′长为摆长的单摆，其等效摆长，故此摆周期。

2、等效重力加速度单摆．该类单摆的等效重力加速度g′≠g，但摆长仍为悬点到球心的距离．等效重力加速度g′与单摆所在的空间位置、单摆系统的运动状态和单摆所处的物理环境有关．

（1）公式中的g′由单摆所在的空间位置决定，由知，g′随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8m/s²．

（2）g′由单摆系统的运动状态决定，等效重力加速度等于摆球处于平衡位置不振动时，等效摆长“绳子”上拉力对摆球产生的加速度．具体求法为等效重力加速度g′等于摆球相对系统静止在平衡位置时摆线的张力（视重）T与摆球质量m的比值，即．

例2 如图2所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上运动，求单摆的摆动周期．

解析：单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则单摆受重力mg和绳拉力F，根据牛顿第二定律有F－mg=ma．此时摆球的视重mg′=F=m（g+a），所以单摆的等效重力加速度g′=，因而单摆的周期．

二、单摆模型在其他问题中的应用

在处理物理问题时，通过构建物理模型，应用熟悉的模型所遵循的规律解答问题是一种常用的方法，单摆模型常用于解决其他力学问题．

例3 如图3所示，A、B为固定在轻杆中点和一个端点的两个小球，杆可绕O点无摩擦地转动，将轻杆从图中水平位置由静止释放，在轻杆下落到竖直位置的过程中（ ）．

A、两球各自的机械能均守恒

B、杆、球组成的系统机械能守恒

C、A球机械能的增加量等于B球机械能的减少量

D、A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量

解析：构建单摆物理模型，令OA和OB各构成一个单摆，如图4所示，则A球的周期比B球的周期小，A球先摆到竖直位置，由此可推知，在本题中A球通过杆对B球做正功，A球的机械能减少，B球的机械能增加，杆、球系统的机械能守恒．故选项B、D正确．

（责任编辑 任林茂）