平行四边形中常用辅助线的添法

徐卫东 刘建英

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

一、连对角线或平移对角线：

例1 如图1，E是平行四边形ABCD中AD延长线上一点，ED交BC于F，求证：。

简证：连BD，由图易得（同底等高），（同底等高）

所以，

所以，即。

例2 如图2，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AC=a+b，BD=a+c（），AB=m，求m的取值范围。

简解：要求AB的值，需把AC、BD、AB集中在一个三角形中，过C作CE∥DB交AB的延长线于E，由图易得DBEC是平行四边形，

所以，

，

即，在△ACE中，

，

即。

二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形

例3 如图3，平行四边形ABCD中，∠DBC=，DE⊥DB交BC的延长线于E，AD=a，DE=b，求。

简解：过D作DF⊥BE于F，由题意得∠DEB=，

所以DF=，BE=，

则，

所以。

例4 如图4，平行四边形ABCD的周长为40，∠ABC=，E、F是BD上的三等分点，AE的延长线交BC于M，MF的延长线交AD于N，设，，试求y与x的函数关系。

简解：过A作AH⊥BC于H。

因为，所以，

所以

。

因为AD∥BC，

所以，，

所以，，

，

则

。

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

例5 如图5，平行四边形ABCD中，N是AB中点，BE=，NE与BD交于F，求的值。

简解：作AC交BD于O，连ON，由 图得ON，

因为，，，

所以，所以，

所以，则。

例6 如图6，平行四边形ABCD中，O是对角线交点，F是AB延长线上一点，OF交BC于E，AB=a，BC=b，BF=c。求BE长。

简解：作OG∥CB交AB于G，因为O是AC中点，所以OG=，

又，

所以。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

例7 如图7，正方形ABCD中，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF交于P，求证AP=AB。

简证：延长CF交BA的延长线于G。

因为FD=FA，易得△CDF△GAF，

所以AG=CD=AB，则A为BG中点，

又CE=DF，CB=CD，

所以Rt△BCERt△CDF，

所以∠1=∠2，

因为∠1+∠3=，

所以∠2+∠3=，

所以∠CPB=，所以∠BPG=。

则PA是Rt△BPG的斜边上中线，所以AP=AB。

例8 如图8，平行四边形ABCD中，E、F分别是DC、DA上一点，AE=CF，AE与CF交于P，求证PB平分∠APC。

简证：连BE、BF，由图易证得

。

过B作BH⊥CF、BG⊥AE，垂足分别为H、G。

因为，

，

所以BG=BH，所以B点在∠APC的角平分线上，则PB平分∠APC。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等

例9 如图9，E是平行四边形ABCD对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥BA，垂足分别为F、G，求证：。

简证：作AH⊥BD于H，CK⊥BD于K，易得AHCK，连AE、CE。

因为，

，

所以。

又，所以，

所以，

则。

例10 如图10，ABCD是正方形，BE∥AC，AE=AC，CF∥AE，求证：∠AEB=2∠BCF。

简证：连BD，过A作AH⊥AC交BE于H，AC与BD交于O。由图中易证得AHBO为正方形，所以AH=AO=。

因为AE=AC，

所以，

所以在Rt△AHE中，∠AEH=。

又因为AEFC为菱形，

所以∠ACF=∠AEF=。

又∠BCF=∠ACB-∠ACF=，则∠AEB=2∠BCF。