因式分解的方法与技巧

朱元生

因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，也是处理数学问题的重要手段和工具，学习因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法等基本方法外，还要熟悉一些特殊的方法和技巧。

一、巧拆项

在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或某几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1. 因式分解：。

解析：根据多项式的特点，把3拆成，则

例2. 因式分解：。

解析：根据多项式的特点，把拆成，把11x拆成，则

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也可以这样分解因式：

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二、巧添项

在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可使问题化难为易。

例3. 因式分解：。

解析：根据多项式的特点，在中添上和两项，则

。

三、巧换元

在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，从而使问题化繁为简，迅速获解。

例4. 因式分解：。

解析：

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设，则。

原式

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例5. 因式分解：。

解析：设，，则

。

四、展开巧组合

若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可展开重新组合，然后再用基本方法分解。

例6. 因式分解：。

解析：将多项式展开再重新组合，分组分解。

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例7. 因式分解：

解析：

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五、巧用主元

对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，可以其中一个字母为主元进行变形整理。

例8. 因式分解：。

解析：将多项式以y为主元进行整理。

例9. 因式分解：。

解析：这是一个轮换对称多项式（即以a替换b，b替换c，c替换a后，多项式不变），不妨以a为主元进行整理。

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