【本讲教育信息】

一. 教学内容：

第六章万有引力与航天

第一节行星运动

第二节太阳与行星的引力

二. 知识要点：

1. 知道地心说和日心说的基本内容，知道所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；知道所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，且这个比值与行星的质量无关，但与太阳的质量有关。理解人们对行星运动的认识过程是漫长复杂的，真理是来之不易的。

2. 理解太阳与行星间引力的存在。能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式。了解万有引力定律得出的思路和过程，理解万有引力定律的含义，掌握万有引力定律的公式；知道任何物体间都存在着万有引力，且遵循相同的规律。

三. 重难点解析：

1. 地心说：地球是宇宙的中心，是静止不动的。太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。

2. 日心说

宇宙的中心是太阳，所有的行星都在绕太阳做匀速圆周运动。地球是绕太阳旋转的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳运动。天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象。与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多。

3. 开普勒对行星运动的描述

（1）第一定律：太阳系中各个行星以椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。

（2）第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。如果时间间隔相等，即t₂－t₁=t₄－t₃，那么面积A=面积B。由此可见，行星在远日点a的速率最小，在近日点b的速率最大。

图中太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

（3）第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方成正比，其表达式为：＝k，其中R是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个与行星无关的常量，但k的大小与中心天体的质量有关。

4. 太阳与行星间的引力

（1）推导

假设地球以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么；太阳对地球的吸引力为地球绕太阳做圆周运动提供向心力。设地球的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M则由匀速圆周运动的规律可知

F=， ①

v= ②

由①②得 F= ③

又由开普勒第三定律

T²=， ④

由③④式得 F=4kπ²， ⑤

即 F∝ ⑥

这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳的距离的平方成反比。

根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力应该与太阳对地球的引力F等大，与太阳的质量成正比。

F=一

即 F∝ ⑦

比较⑥⑦式不难得出F∝，写成等式F= 式中G是比例系数，与太阳、行星无关。

注意：在中学阶段只能将椭圆轨道近似成圆形轨道来推导引力公式，但牛顿是在椭圆轨道下推导引力表达式的。

如何验证太阳与行星间引力的规律适用于行星和卫星之间假定卫星绕行星做匀速圆周运动，设轨道半径为R，运行周期T，行星和近地卫星质量分别为M和m，由做圆周运动的卫星所需的向心力即为地球对它的引力，有

=m，

==常量

通过观测卫星的运行轨道半径尺和周期T，若它们的R³／T²为常量，则说明太阳与行星间引力的规律适用于行星和卫星之间。

【典型例题】

[例1] 木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍，那么，木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕太阳运动轨道的半长轴的多少倍?

解析：木星、地球都绕太阳沿不同的椭圆轨道运动，太阳位于它们的椭圆轨道的一个公共焦点上。它们的轨道的半长轴的三次方和公转周期的二次方的比值都相等，根据开普勒第三定律可求得。

设木星、地球绕太阳运动的周期分别为T₁、T₂，它们轨道的半长轴分a₁、a₂，根据开普勒第三定律得：=，则===5.24，所以a_l=5.24a₂。

即木星绕太阳运动轨道的半长轴约为地球绕太阳运动轨道的半长轴的5.24倍。

答案：5.24倍

[例2] 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球半径为R，求飞船由A点到B点所需的时间。

解析：由开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周（半长轴和半短轴相等的特殊椭圆）运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长轴的三次方跟周期平方的比值。飞船椭圆轨道的半长轴为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T'，则有=。而飞船从A点到B点所需的时间为： t==