【本讲教育信息】

一. 教学内容：

暑假专题——三角函数的图象和性质

二、本周教学目标：

（1）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数y=sinx，正切函数y=tanx的图象，并在此基础上根据诱导公式画出余弦函数y=cosx的图象；理解周期函数的定义。并通过它们的图象理解并掌握正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx的性质。

（2）会用“五点法”画出正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx、函数y=Asin（ωx+）的简图，并理解A、、的物理意义。

（3）会根据y=sinx的基本性质，讨论y=Asin（ωx+）的性质。

三、本周知识要点：

（一）知识系统及其结构：

（二）基本概念及相关知识点：

1、三角函数线：

设单位圆圆心在原点，和横坐标的正方向OX交于A点，与角α的终边交于P点，从P点作OX的垂线MP，垂足为M。

sinα＝MP（正弦线），cosα＝OM（余弦线），tanα＝AT（正切线）。

有向线段MP，OM，AT，统称三角函数线。

2、三角函数图象的作法：

（1）几何法：利用单位圆中的三角函数线，作出各三角函数的图象，以正弦函数为例，具体作法如下：

在直角坐标系的x轴上任取一点O₁，以O₁为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份。过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角0，，，，…，2π的正弦线。相应地，再把x轴上从０到2π这一段（2π≈6.28）分成12等份．把角x的正弦线向右平移，使得正弦线的起点在x轴上，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了正弦函数y＝sinx（x∈［0，2π］）的图象。

（2）描点法及其特例——五点作图法

三角函数的图象亦可用通常作函数图象的描点法作出。对于正弦函数及余弦函数可用五点法作出简图。

（3）利用图象变换作三角函数图象。

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等。

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当A＞1）或缩短（当0＜A＜1＝到原来的A（A＞0且A≠1）倍，得到y＝sinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换。

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜ω＜1＝或缩短（ω＞1）到原来的（ω＞0且ω≠1）倍，得到y＝sinx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换。

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0＝平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相应变换或叫做沿x轴方向的平移。

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0＝平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移。

由y＝sinx的图象变换到y＝Asinx（ωx＋φ）的图象，需要同时运用振幅变换、周期变换及相位变换，将由专门条目介绍。

3、三角函数的图象：

三角函数的图象从“形”的侧面反映了三角函数随自变量x变化而变化的规律，使抽象的三角函数性质转化为直观形象的图象。

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

4、正弦函数的主要性质：

（1）定义域是实数集R，记作y＝sinx，x∈R

（2）值域是[－1，1]，当且仅当x＝＋2k，k∈Z时取得最大值1，当且仅当x= －＋2k，k∈Z时取得最小值－1；

（3）周期性：正弦函数是周期函数，2k（k∈Z，且k≠0）是它的周期，最小正周期是2；

（4）奇偶性：正弦函数是奇函数；

（5）单调性：正弦函数在每一个闭区间[－＋2k，＋2k]（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[＋2k，＋2k]（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1。

5、余弦函数的主要性质：

（1）定义域是实数集R，记作y＝cosx，x∈R；

（2）值域是[－1，1]，当且仅当x＝2k，k∈Z时取得最大值，当且仅当x＝（2k+1），k∈Z时取得最小值－1；

（3）余弦函数是周期函数，2k（k∈Z，且k≠0）是它的周期，最小正周期是2；

（4）奇偶性：余弦函数是偶函数．

（5）单调性：余弦函数在每一个闭区间[（2k－1），2k]（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2k，（2k＋1）]（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1。

6、正切函数的主要性质：

（1）定义域是{x|x≠+k，k∈Z}

（2）值域是实数集R

（3）周期性：正切函数是周期函数，周期是

（4）奇偶性：正切函数是奇函数

（5）单调性：正切函数在开区间（－＋k，＋k），k∈Z内都是增函数。

补充：正弦函数是以2π为最小正周期的周期函数，每一条直线都是正弦曲线的一条对称轴；每一个点（kπ，0）都是正弦曲线的一个对称中心。

余弦函数是以2π为最小正周期的周期函数，每一条直线都是余弦曲线的一条对称轴；每一个点都是余弦曲线的一个对称中心。

7、周期函数：对于函数y＝f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一值时，f（x＋T）＝f（x）都成立，那么就把函数y＝f（x）叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期．周期函数的周期不只一个，若T是周期，则2T，3T，－T…，都是周期，如果所有周期中存在一个最小正数，这个最小正数，叫做函数f（x）的最小正周期。

8、函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象：

当函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0），x∈［0，＋∞］表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做振动的振幅；往往振动一次所需要的时间T＝，叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝＝，叫做振动的频率；ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相（即当x＝0时的相位）。

一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象可以看作用下面的方法得到：先把y＝sinx的图象上的所有的点向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移｜φ｜个单位，再把所得各点的横坐标缩短（ω＞1）或伸长（0＜ω＜1）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1＝到原来的A倍（横坐标不变）。

若是先压缩后平移，此时平移的量为个单位。

说明：三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。

【典型例题】

例1. 利用单位圆中的三角函数线证明：

当时，。

证明：任取，分别作出角x的正弦线CD及正切线AT。（见图01）

根据S_△OAD＜S_扇形OAD＜S_△OAT，

即：，

化简整理即得：。

图01 图02

引伸：时，的几何意义是：函数y = sin x的图象位于直线y = x

的下方。（见图02）。

依据图形的对称性，我们不难得到：

当时，y = sin x的图象位于直线：y = －x＋π的下方。

例2. 求函数 x∈R的单调递增区间。

解：令，函数y =－2 sin t的单调递增区间是函数y = sin t的单调递减区间。

由，即，

解得：

∴所求的单调递增区间是。

例3. 选择题

要得到函数的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象（）

A. 沿x轴向左平移单位 B. 沿x轴向右平移单位

C. 沿x轴向左平移单位 D. 沿x轴向右平移单位

分析：我们知道，当a＞0时，把函数y = f （x）的图象沿x轴向右移a个单位，便得到函数y = f （x－a）的图象，把函数f （x）的图象沿x轴向左平移a个单位，便得到函数y = f （x＋a）的图象。本题中与y = 3 sin 2x的对应法则不同，应当把它们变为“y = f （x）与y = f （x＋a）”的形式后，再讨论平移关系。因为我们关心的是对函数y = 3 sin 2x的图象平移，所以要把变形，变到y = 3 sin （2x＋φ）的形式。