【本讲教育信息】

一、教学内容

选修3－4 第一章第1－4节研究简谐运动探究摆钟的物理原理探究单摆振动的周期受迫振动与共振

二、考点点拨

本节课是选修3-4 第一章的内容，在高考中作为选做题中的一道来出现，其中振动的图像，单摆的周期公式的应用是重点和难点。

三、跨越障碍

（一）机械振动回复力

1. 机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧所做的往复运动。

2. 回复力：使振动物体回到平衡位置的力。

①回复力时刻指向平衡位置；

②回复力是以效果命名的力，它是振动物体在振动方向上的合外力；

③回复力可能是几个力的合力，可能是某一个力，还可能是某一个力的分力。

3. 平衡位置：是振动物体所受回复力等于零的位置；也是振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动轨迹的中点。

注意：振动物体在平衡位置时不一定处于平衡状态，所受合外力不一定为零。

（二）简谐运动描述简谐运动的物理量

1. 简谐运动：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动。

受力特征：

2. 描述简谐运动的物理量

（1）位移（）：由平衡位置指向振动质点所在处的有向线段，其最大值等于振幅。

（2）振幅（）：振动物体离开平衡位置的最大距离，等于振动位移的最大值。它反映了振动的强弱。振幅是标量。

（3）周期（）和频率（）：描述振动快慢的物理量。其大小由振动系统本身的性质决定。所以又叫固有周期和固有频率。

二者关系：

（4）简谐振动的注意问题：

①判断一个物体是否做简谐运动的依据是

②简谐运动中所涉及的位移、速率、加速度的参照点，都是平衡位置。

③在简谐运动中，只要不加特别说明，位移的起点就是平衡位置。

（5）简谐振动的实例：弹簧振子，单摆

（三）单摆

1. 单摆：一条不可伸长、忽略重量的细线下端拴一质点，上端固定构成的装置。

2. 单摆振动可看作简谐运动的条件：

3. 周期公式：，式中摆长L指悬点到摆球球心间的距离。g为单摆所在处的重力加速度。

4. 单摆的等时性：在以小振幅摆动时，单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没关系。

5. 应用：①测重力加速度；②计时器。

6. 单摆的回复力

①单摆振动时的回复力不是线的拉力与重力的合力。而是由重力沿切线方向的分力提供。

②单摆振动时，线的张力与重力沿摆线方向的分力的合力提供向心力，使单摆做圆周运动。

③在小振幅的条件下（时），单摆的回复力满足条件

④最大回复力的大小为：

⑤在平衡位置O点，回复力为零，但合外力不为零，合外力提供向心力。

（四）简谐运动的图像

1. 横坐标为时间轴，纵坐标为某时刻质点的位移。

2. 意义：表示振动质点的位移随时间变化的规律。

3. 形状：正弦或余弦图线。如图所示

4. 简谐运动图像的应用

（1）直接从图像上读出周期和振幅

（2）确定任一时刻质点相对平衡位置的位移

（3）判断任意时刻振动物体的速度方向和加速度的方向

（4）判断某段时间内振动物体的速度、加速度、回复力、动能及势能大小的变化情况

5. 简谐振动的图像的认识

①振动的图像不是振动质点的运动轨迹

②计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸

③简谐运动的图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关

④简谐运动的典型代表是弹簧振子，它在平衡位置O时，速度最大，加速度等于零，而单摆在时的摆动近似于简谐运动。它在平衡位置时速度也最大，但加速度不等于零（向心加速度），是非平衡状态。

⑤质点做简谐运动时，任意半个周期内通过的路程相等，为2A；间隔的两个时刻，质点处在关于平衡位置对称的位置上，具有相等的速率、动能和势能，而位移、速度、加速度、回复力及动量的大小相等、方向不相同；任意一个周期内通过的路程相等，为4A；间隔的两个时刻，质点在同一位置上，具有相同的位移、速度、加速度、回复力及动量、动能、势能。

⑥质点一段时间内通过的路程

（五）简谐运动的能量

振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，在任意时刻动能和势能之和等于振动物体的总机械能。简谐运动中机械能守恒。振动的振幅越大，能量越大。机械能等于它在平衡位置的动能或等于它在最大位移时的最大势能。

（六）阻尼振动、受迫振动和共振

1. 无阻尼振动；振幅不变的振动

2. 阻尼振动：振幅逐渐减小的振动

3. 受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动

4. 共振：共振是一种特殊的受迫振动，当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。

受迫振动的振幅与驱动力的频率的关系——共振曲线如图所示，表示物体的固有频率，当=时，振幅最大。

5. 共振的防止和应用

利用共振：使驱动力的频率接近直至等于振动系统的固有频率，如：共振筛、速度计。

防止共振：使驱动力的频率远离振动系统的固有频率。

6. 受迫振动的频率如何？振动系统的能量如何变化？

①受迫振动的频率等于驱动力的频率，与固有频率无关。

②受迫振动系统中的能量转化不再是系统内部动能和势能的转化。振动系统是一个开放系统，与外界时刻进行着能量的交换，系统的机械能也时刻变化着。

③发生共振时，驱动力对振动系统总是做正功。总是向系统输入能量，使系统的机械能逐渐增加。振动物体的振幅逐渐增大，当驱动力对系统做的功与系统克服摩擦和介质阻力做的功相等时，振动系统的机械能不再增加，振幅不再增大。

【典型例题】

例1：做简谐运动的弹簧振子，其振子的质量为m，振动过程中的最大速度为，从某一时刻算起，半个周期内

A. 弹力做功一定等于零

B. 弹力做功是0～之间的某一值

C. 弹力的冲量一定为零

D. 弹簧和振子系统的机械能和动量都守恒

解析：由简谐运动的对称性可知，振子经半个周期，运动到关于平衡位置相对称的点上，速度大小相等、方向相反，由动能定理知A对、B错。根据振动的起点不同，动量的变化在0～之间，故C错，由于振子和弹簧组成的系统在运动过程中受外力之和不为零，动量不守恒，故D错，正确答案应为A。

答案：A

总结：1、简谐运动的物体做的是变加速运动且具有周期性，用力学知识分析各物理量在一个周期内的变化规律，明确物体经过同一位置时哪些物理量一定相同，哪些物理量可能不同，该知识点是高考考查的热点；2、简谐运动的对称性：做简谐运动的质点，在距平衡位置等距离的两点上时，具有大小相等的速度和加速度，在平衡位置左右相等的距离上的运动时间也是相同的。

例2：一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图甲，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向，则

（1）OB= cm；

（2）第0.2s末质点的速度方向是，加速度大小为；

（3）第0.4s末质点的加速度方向是；

（4）第0.7s时，质点位置在点与点之间；

（5）质点从O运动到B再运动到A所需时间；

（6）在4s内完成次全振动，4s末的位移为，通过路程为

解析：（1）从图像上看出振幅是5cm，所以OB=5cm.

（2）根据正方向的规定及振动图像知，质点从位置B开始计时，第0.2s末，质点回到平衡位置O，向负方向运动，所以此时速度方向从O指向A，位移为零，由可知回复力，所以加速度

（3）第0.4s末质点到达A点，位移为负，回复力F应为正，此时加速度方向由A指向O。

（4）第0.7s时，位移为正，质点在O点与B点之间。

（5）从图像上读出周期T=0.8s，从O经B到A需时间

（6）频率 4s内完成全振动1.25×4=5次位移为5cm，路程S=5×4A=lm

例3：一个质点做简谐振动的图象如图所示，下列说法中正确的是

A. 质点的振动频率为4 Hz

B. 在10 s内质点经过的路程是20 cm

C. 在5 s末，加速度最大，方向向下

D. 1.5 s和4.5 s末的两时刻质点的速度都为正值

解析：由图读得振动周期T=4 s，故振动频率， A错误；由图读得振幅A=2 cm，而10 s为2.5个周期，每一周期质点经过路程有4个振幅，故在10 s内质点经过的路程S=2.5×4A=0.2m，B正确；由图可知在5 s末，质点处于最大位移处，加速度最大，方向指向t轴，C正确；而在1.5 s和4.5 s末的两时刻，质点通过振动的同一位置，速度大小应相等，但由图可知，1.5 s图象在此处的斜率为负，4.5s末图象在此处的斜率为正，说明两次通过的方向相反，故D错误。

答案：BC

结论：在利用简谐运动的图象时要注意通过图象可以读得哪些，明确哪些。同时在分析速度、加速度时，首先应分析该时刻所对应的位移，再由位移方向与回复力方向相反、加速度方向与回复力方向相同来判断出加速度的方向；判断速度方向正负可以采用以下的方法：由该时刻所对应的图象在此处的斜率的正负判断，斜率为正时速度为正，斜率为负时速度为负。

例4：如图所示，处于竖直平面内的光滑绝缘半圆形糟的半径为R，一质量为m的小球置于槽中P点释放，小球的半径远小于圆形槽的半径R，. 求：

（1）小球滑至最低点，所经历的时间t；

（2）若使小球带一定量的正电荷并将整个装置放在水平向右的匀强电场中，且小球所受电场力大小等于小球所受重力大小，则小球做简谐运动的周期T为多少？

解析：（1）由于，故满足单摆摆角较小的条件，则小球的运动可视为简谐运动，其摆长L相当于绝缘半圆形的半径R

所以

（2）整个装置处于水平向右的电场后，小球就受到水平向右的电场力的作用，其平衡位置和圆心的连线与竖直方向成（如图所示），其“视重”就是重力与电场力的合力。即

其中

得所以

例5：一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，图1所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动，匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动，把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给砝码一个向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图2所示。当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图3所示。若用表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则

A. 由图线可知=4 s

B. 由图线可知=8 s

C. 当T在4 s附近时，显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，很小

D. 当T在8 s附近时，显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，很小

解析：图2中为弹簧振子未加驱动力时的周期，故由图线读出的周期为某振动的固有周期，即=4 s；图3是弹簧振子在驱动力作用下的振动图线，做受迫振动的物体，其振动周期等于驱动力的周期，即T=8 s，当受迫振动的周期与驱动力的周期相同时，其振幅最大；当周期差别越大，其运动振幅越小，由以上分析可知正确的选项为AC。

四、小结

本节课中简谐运动过程的分析，简谐运动的图像及单摆的相关应用是重点

五、预习导学（选修3－4第二章 1—5节机械波）

1、机械波，产生的条件、

2、机械波的分类、；波所特有的现象、

3、波的图像的物理意义

4、描述波的物理量、、

【模拟试题】（答题时间：50分钟）

1. 一个水平弹簧振子的振动周期是0.025 s，当振子从平衡位置开始向右运动，经过0.17 s时，振子的运动情况是

A. 正在向右做减速运动 B. 正在向右做加速运动

C. 正在向左做减速运动 D. 正在向左做加速运动

**2. 弹簧振子以O点为平衡位置做简谐振动，从O点开始计时，振子第一次到M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点. 则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是

A. 1／3 s B. 8／15 s C. 1.4 s D. 1.6 s

3. 弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的关系如下图所示，由下图可知

A. 在=1 s时，速度的值最大，方向为负，加速度为零

B. 在=2 s时，加速度的值最大，方向为负，速度为零

C. 在=3s时，速度的值最大，方向为正，加速度最大

D. 在=4s时，加速度的值最大；方向为负，速度为零

*4. 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则

A. 若时刻和（+△）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△一定等于T的整数倍

B. 若时刻和（+△）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则△一定等于T/2的整数倍

C. 若△=T，则时刻和（+△）时刻振子运动的加速度一定相等

D. 若△=T／2，则时刻和（+△）时刻弹簧的长度一定相等

*5. 一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm，振子的平衡位置位于x轴上的O点，图甲中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向，图乙给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图象

A. 若规定状态a时t=0，则图象为①

B. 若规定状态b时t=0，则图象为②

C. 若规定状态c时t=0，则图象为③

D. 若规定状态d时t=0，则图象为④

6. 如左图所示，在弹簧振子的小球上安置记录笔，当小球振动时便可在匀速移动的纸带上画出振动图象。如右图是同一个弹簧振子在纸带上画出的曲线，若纸带N₁和纸带N₂移动的速度和的关系为=2，则纸带N₁、N₂上曲线所代表的振动的周期T₁和T₂的关系为

A. T₂=T₁ B. T₂=2T₁C. T₂=4T₁ D. T₂=T₁／4

*7. 在张紧的水平绳上挂7个单摆（如图），先让D摆振动起来，其余各摆也随之振动，已知A、D、G三摆的摆长相同，则下列判断正确的是

A. 7个单摆的固有频率都相同

B. 稳定后7个单摆的振动频率都相同

C. 除D摆外，A、G摆的振幅最大

D. 除D摆外，C、E摆的振幅最大

*8. 某同学观察实验室内两个单摆甲和乙的振动，发现单摆甲每完成4次全振动，单摆乙就完成9次全振动，则单摆甲和乙的摆长与之比：为（）

A. 16：81 B. 81：16 C. 3：2 D. 2：3

**9. 如图所示，一块涂有碳黑的玻璃板，质量为2 kg，在拉力F的作用下由静止开始竖直向上做匀变速运动. 一个装在振动频率为5Hz的电动音叉上的指针，在玻璃板上画出如图所示的曲线，量得OA=1 cm，OB=4 cm，OC=9 cm，求拉力F的大小. （取g=10 m／s²）

**10. 如图所示，L、m已知（L为摆长，m为摆球质量），最大摆角小于，当小球摆到B点并向左运动时，有一质量为M、置于光滑水平面的物体在一水平向右恒力作用下由静止开始运动，要使两物体的速度有可能相同，作用在物体上的恒力应为多大？

【试题答案】

1、答案：B

解析：由0.17 s÷0.025 s=6.8>，说明振子已经过最左端正在向右做加速运动。

2、答案：AC

解析：从O直接到M用时0.3s，再用0.2s到M，则，第三次到M用时；如果是从O到另一侧最大位置再到M用时0.3s，再用0.2s到M，则，第三次到M用时

3、答案：AD

解析：根据图像由质点所处的位置即可确定，平衡位置速度最大，加速度为零；最大位置加速度最大，速度为零，加速度方向和位移方向相反。

4、答案：C

解析：如图所示，a点（对应时刻）、b点（对应+△时刻）的振子运动位移大小相等、方向相同，但△就不等于T的整数倍，可见选项A是错误的；a点（对应时刻）、b点（对应+△时刻）的振子运动速度大小相等、方向相反，但△就不等于T／2的整数倍，可见选项B是错误的；简谐运动周期T是振子运动位移、振子运动速度、振子运动加速度的周期，可见选项C正确；若△= T／2，弹簧振子从压缩最短到伸长最长，这两个时刻弹簧的长度就不相等，可见选项D错误。

5、答案：AD

解析：振子在状态a时t=0，此时的位移为3 cm，且向规定的正方向运动，故选项A正确；振子在状态b时t=0，此时的位移为2 cm，且向规定的负方向运动，图中初始位移不对；振子在状态c时t=0，此时的位移为-2 cm，且向规定的负方向运动，图中运动方向不对；振子在状态d时t=0，此时的位移为-4 cm，速度为零，故选项D正确。