【本讲教育信息】
一. 教学内容：
长、正方体的体积
教学目标：
1、通过具体的实验活动，了解体积和容积的实际含义，初步理解体积和容积的概念．
2、结合具体情境和实践活动，探索并掌握长方体、正方体体积的计算方法，能正确计算长方体、正方体的体积，解决一些简单的实际问题．
3、认识体积、溶剂单位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升）．
4、在操作、交流中，感受物体体积的大小，发展空间观念．
教学重点：
了解体积和容积的实际含义，初步理解体积和容积的概念，掌握长方体、正方体体积的计算方法．
教学难点：
认识体积、溶剂单位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升），能正确计算长方体、正方体的体积，解决一些简单的实际问题．
教学过程：
本周的知识要点：
（一）体积和容积的意义
物体所占空间的大小，就叫做物体的体积．
容器所能容纳物体的体积，就叫做容器的容积．
1、阿基米德和王冠的故事．
2000多年以前，意大利西西里岛有个王国叫叙拉古，阿基米德就出生在这里．阿基米德的父亲是一位天文学家兼数学家，受父亲的影响，阿基米德从小就热爱科学，他11岁时就到当时著名的科学文化中心——亚历山大城学习．在亚历山大城学习和生活了许多年之后，阿基米德几乎掌握了当时关于天文学、数学和力学的所有知识．
学业取得成就后，阿基米德回到叙拉古．国王看中了他的才华，聘请阿基米德当了顾问，帮助他解决军事、生产和生活中的各种问题．
叙拉古的国王为了炫耀自己的尊贵，让金匠为他做了一顶纯金王冠．金匠把国王的金子带回家精工细作，终于制成了一顶十分漂亮的王冠．金匠献上王冠之后，国王非常高兴，可又疑心金匠是否在王冠中掺假克扣自己的金子．如何鉴定王冠是不是纯金制作的呢？国王请阿基米德解决这一难题．
阿基米德向国王借了和王冠重量相同的金块和银块，把它们和王冠一起带到自己的实验室进行研究．阿基米德把金块、银块和王冠反复比较，称了又称，量了又量，可怎么才能知道王冠的体积呢？他一直想不出办法来．
一天，仆人准备好了洗澡水，伺候阿基米德去洗澡．这一次仆人把水放得太满了，阿基米德一进入浴盆水就向外流，同时他又感到水对身体有一个向上的托力．身体进入浴盆越多，流出的水越多，他感到的托力越大．就在此时，阿基米德脑海里突然闪出了一个念头，从盆中溢出水的体积正好等于身体深入水里的体积．那么，如果将王冠和金块分别放入盛满水的容器中，溢出水的体积不就等于王冠和金块的体积吗？再通过测量它们的体积作一比较，如果它们的体积相同，就证明王冠是用纯金做的，否则里面肯定掺了假．
想到这里阿基米德激动万分，一下子从浴盆里跳了出来，连衣服都忘了穿就向王宫跑去．他边跑边喊：“尤里卡，尤里卡……”尤里卡是希腊语“我发现了”的意思．为了纪念这一事件，现在世界上最著名的发明博览会就以“尤里卡”命名．
2、揭示故事中的数学现象．
这个故事揭示的是一个看似很简单、平常的生活现象，但就是从这么一个简单的现象中阿基米德发现了一个对世人意义深远的《浮力定律》，这也同时表明了，“伟人其实和我们是一样的，他们的伟大之处就在于能发现事物的本质．”
阿基米德利用的就是王冠的体积就等于溢出水的体积，因为将王冠放入水中，王冠就占用了与它同体积的水的空间，这部分水就从容器里流了出来，再测量出水的体积就知道王冠的体积了．
3、应用规律解决问题．
利用这个规律我们就可以测量出不规则物体的体积是多少了．
有这样一个题：
在一个装有水的长方体容器里放入一个土豆，水面上升6厘米，求这个土豆的体积是多少？
上升水的体积就是土豆的体积．
4、体积和容积的区别．
从意义上说，体积表示的是物体所占空间的大小．容积表示的是容器所能容纳物体的体积；从测量方法来说，体积是从物体的外部测量，而容积是从物体的内部测量；从它们的大小来说，同一个物体，体积大于容积，当容器壁很薄时，容积近似等于体积．如果容器壁忽略不计时，容积等于体积．
5、认识常用的体积单位，容积单位．
常用的体积单位有：立方厘米、立方分米、立方米．
棱长为1厘米的正方体，体积是1立方厘米，记作1立方厘米（cm3），一般人的小拇指头体积大约就是1立方厘米．
棱长为1分米的正方体，体积是1立方分米，记作1立方分米(dm3)，一般的粉笔盒体积大约就是1立方分米．
棱长为1米的正方体，体积是1立方米，记作1立方米(m3)．
计量容积时可以用体积单位立方厘米、立方分米和立方米，但是容器内盛放液体的量，一般用升（L）、毫升（mL）作单位．
1升＝1立方分米 1毫升＝1立方厘米
（二）长、正方体体积的计算方法
1、长方体体积的计算方法
（1）探索长方体的体积公式
例题：一个长5厘米，宽4厘米，高2厘米，的长方体，它的体积是多少立方厘米？
［分析］想解决这个问题，我们可以将这个长方体分割成1立方厘米的小方块，然后用数方块的方法求出长方体的体积是多少．如图所示：
每排有5个，一层有4排，共有5×4＝20；每层有20个，共有2层，所以共有20×2＝40．
解答：长方体的体积就等于：5×4×2＝40（立方厘米）
（2）已知长方体的长、宽、高，就直接利用公式：“长方体的体积＝长×宽×高”来计算．如果一个长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，体积用 V表示，则长方体体积的字母公式为：V＝abh．
（3）已知长方体的底面积和高，就直接利用公式“长方体的体积＝底面积×高”来计算．如果一个长方体的底面积用S表示，高用h表示，体积用V表示，则长方体体积的字母公式为：V＝Sh．
2、正方体体积的计算方法
（1）已知正方体的棱长，可以利用公式：“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”来计算．如果正方体的棱长用a表示，体积用 V表示，则字母公式为：V＝a×a×a＝ a3 ．
（2）正方体的体积也可以用“底面积×高”来计算，字母公式为：V＝Sh ．
3、解题技巧
（1）将一个物体变形为另一个物体，体积不变．
（2）两个物体熔化成一个新物体后，新物体的体积等于原来物体体积的和．
（3）物体浸入水中，排开水的体积等于物体的体积．
（三）点燃你的思维
1、一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，截成两个形状、大小完全一样的长方体，表面积最少增加多少平方厘米？体积有变化吗？
［分析］因为是要求表面积增加最少，所以在截的时候只能在与最小的面平行的方向来截，所以增加的面积就是两个最小的面的面积．体积没有改变．
解答：4×3×2＝24（平方厘米）
答：表面积最少增加24平方厘米，体积没有变化．
2、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个正方体熔化成一个大正方体，求大正方体的体积．
［分析］因为大正方体的体积是三个小正方体体积的和，所以，要先求出三个小正方体的体积，而要想求出正方体的体积，必须要知道正方体的棱长，而每个小正方体的表面积已知，用它们的表面积除以6，即可求出它们的棱长的平方，最后可求出它们的棱长，根据棱长可求出体积．最终求出大正方体的体积．
解答：54÷6＝9（平方厘米）
96÷6＝16（平方厘米）
150÷6＝25（平方厘米）
33＋43＋53＝216（立方厘米）
答：大正方体的体积是216立方厘米．
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
一、填空
1、棱长是（ ）的正方体，体积是1立方厘米；棱长是1分米的正方体，体积是（ ）；棱长是（ ）的正方体，体积是1立方米。
2、计算物体的体积时，一般从它的（ ）量；计算物体的容积时，一般从它的（ ）量。
3、容器盛放液体时，计算它的容积一般用（ ）和（ ）作单位。
4、一个正方体的棱长是3分米，它的棱长之和是（ ）分米，占地面积是（ ）平方分米，表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。
5、一个长8厘米，宽4厘米，高2厘米的长方体，它的占地面积最少是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
6、一个长方体的体积是6.4立方分米，长是4分米，宽是2分米，高是（ ）分米。
7、一个长方体的横截面是边长为3厘米的正方形，它的长是5厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
8、一个正方体的棱长是3厘米，用两个这样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
二、解答题
1、一个长10厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体，截成两个形状、大小完全一样的长方体，表面积最多增加多少平方厘米？体积有变化吗？
2、计算下面长、正方体的表面积和体积（单位：分米）。
【试题答案】
一、填空
1、棱长是（1厘米）的正方体，体积是1立方厘米；棱长是1分米的正方体，体积是（1立方分米）；棱长是（1米）的正方体，体积是1立方米。
2、计算物体的体积时，一般从它的（外面）量；计算物体的容积时，一般从它的（里面）量。
3、容器盛放液体时，计算它的容积一般用（升）和（毫升）作单位。
4、一个正方体的棱长是3分米，它的棱长之和是（36）分米，占地面积是（9）平方分米，表面积是（54）平方分米，体积是（27）立方分米。
5、一个长8厘米，宽4厘米，高2厘米的长方体，它的占地面积最少是（8）平方厘米，体积是（64）立方厘米。
6、一个长方体的体积是6.4立方分米，长是4分米，宽是2分米，高是（0.8）分米。
7、一个长方体的横截面是边长为3厘米的正方形，它的长是5厘米，这个长方体的表面积是（78）平方厘米，体积是（45）立方厘米。
8、一个正方体的棱长是3厘米，用两个这样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（90）平方厘米，体积是（54）立方厘米。
二、解答题
1、一个长10厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体，截成两个形状、大小完全一样的长方体，表面积最多增加多少平方厘米？体积有变化吗？
10×8×2=160（平方厘米）
答：表面积最多增加160平方厘米，体积没有变化。
2、计算下面长、正方体的表面积和体积（单位：分米）。
4×6×4＋4×4×2=128（平方分米）
4×4×6=96（立方分米）
答：这个长方体的表面积是128平方分米，体积是96立方分米。
5×5×6=150（平方分米）
5×5×5=125（立方分米）
答：这个正方体的表面积是150平方分米，体积是125立方分米。