课程解读
一、学习目标：
1. 了解多边形的有关概念，了解多边形的内角和与外角和；
2. 知道什么样的图形可以镶嵌平面，能进行简单的镶嵌设计．
二、重点、难点：
重点：多边形的内角和公式与外角和．
难点：多边形能覆盖平面需要满足的条件．
三、考点分析：
本讲内容在中考试卷中多以填空题、选择题的形式出现，属基本内容，主要考点有两个：
1. 多边形的边数与角度的换算，对角线的条数和边数之间的关系；
2. 用一种或几种正多边形镶嵌成一个平面，进行简单的镶嵌设计．
知识梳理
1. 多边形的有关概念
（1）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
2. 多边形的内角和与外角和
（1）n边形的内角和等于（n－2）·180°．
（2）n边形的外角和等于360°．
3. 镶嵌
（1）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）．
（2）一般地，多边形能覆盖平面需要满足两个条件：①拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）；②相邻的多边形有公共边．
典型例题
知识点一：多边形及其内角和
例1. 一个十二边形有几条对角线？
思路分析：
1）题意分析：本题考查多边形的边数和对角线条数之间的关系．
2）解题思路：过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，但每条对角线在每个顶点都重复计算了一次，所以实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）．
解答过程：十二边形的对角线共有54条．
牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数．
例2. 已知一个多边形的内角和与外角和之比为7∶2，求这个多边形的边数．
思路分析：
1）题意分析：本题考查多边形内角和公式的应用及外角和．
2）解题思路：由于多边形的外角和与边数无关，为360°，故此题只要根据7∶2的关系列出方程，解方程即可．
解答过程：设这个多边形的边数为n．
解得，n＝9．
解题后的思考：此类问题多是通过等量关系建立方程来求边数．
例3. 正五边形的一个内角的度数是__________．
思路分析：
1）题意分析：本题考查正多边形的性质和多边形的内角和公式．
解答过程：108°
解题后的思考：n边形的内角和公式为（n－2）·180°，正多边形的每个内角都相等，如果设其内角为x°，则5x＝（5－2）×180，可解得x＝108．或利用外角和列方程：180－x＝360÷5．
例4. 如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
思路分析：
1）题意分析：这个多边形不是我们通常研究的多边形类型，需先进行转化，将其变成凸多边形，再用多边形的内角和公式求解．
2）解题思路：要求六个角之和，则需在同一个多边形中，故需连接BF将原多边形转化为四边形．
解答过程：连接BF．
因为∠1＝∠C＋∠D，∠1＝∠CBF＋∠DFB，
所以∠C＋∠D＝∠CBF＋∠DFB．
所以∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠DFE＝∠A＋∠ABC＋∠CBF＋∠DFB＋∠E＋∠DFE＝∠A＋∠ABF＋∠BFE＋∠E＝360°．
解题后的思考：多边形问题常通过连接两点或对角线从而转化为三角形或四边形的问题来解决．
例5. 如图所示，已知在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，将△ABC的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，∠2的度数是多少？这个结论是如何得出来的？
思路分析：
1）题意分析：可把∠2看作四边形ABED一个内角的一部分．
2）解题思路：解本题的基本思路是：在△ABC中求出∠C，在△CED中求出∠CDE＋∠CED，在四边形ABED中求出∠1＋∠2，进而求出∠2．
解答过程：∠2＝70°．
因为∠A＝60°，∠B＝75°，
所以∠C＝180°－（∠A＋∠B）＝45°．
所以∠CDE＋∠CED＝180°－∠C＝135°．
所以∠1＋∠2＝360°－（∠A＋∠B＋∠CDE＋∠CED）＝90°．
又因为∠1＝20°，所以∠2＝70°．
解题后的思考：折叠前后∠C的度数不变，是解此题的关键．
例6. 如图所示，已知六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，边长AB＝
思路分析：
1）题意分析：在这个六边形中，有四条边长已知，求其周长关键是要求出AF和EF的长．
2）解题思路：由题意中各角都为120°，想到它的外角为60°，如果延长各边，能得到4个等边三角形，从而求得EF、AF的长．
解答过程：向两边分别延长AB、CD、EF，如图所示，得△PQR．
因为∠PAF＝180°－∠BAF＝180°－120°＝60°，
同理∠AFP＝60°，所以∠P＝60°．
所以∠P＝∠PAF＝∠AFP．
所以△PAF为等边三角形．
同理△BCQ、△DER均为等边三角形．
所以△PQR也为等边三角形．
所以CQ＝BQ＝BC＝8（cm），DR＝ER＝DE＝6（cm）．
所以QR＝8＋11＋6＝25（cm），
AF＝PA＝PQ－AB－BQ＝25－2－8＝15（cm），
EF＝PR－PF－ER＝25－15－6＝4（cm）．
所以六边形ABCDEF的周长为2＋8＋11＋6＋4＋15＝46（cm）．
解题后的思考：当题中涉及到120°、60°、45°、30°等特殊角时，应想到把它们转到特殊三角形中，如等边三角形、直角三角形等．本题就是把AF和EF转化成等边三角形的边，利用等边三角形的性质来求解的．
小结：有关多边形的问题，常考查对角线的条数，多边形的内角和，外角和等知识，熟记其中蕴含的规律性的东西，遇到这些问题时就能迎刃而解．
知识点二：平面镶嵌
例7. 如果限定用一种正多边形镶嵌，在下面的正多边形中，不能镶嵌成一个平面的是（ ）
A. 正三角形 B.
正方形
C. 正六边形 D.
正八边形
思路分析：
1）题意分析：本题考查用同种正多边形镶嵌平面．
2）解题思路：当正多边形的一个内角的度数是360°的约数时，用这样的正多边形能镶嵌平面．题目中A、B、C项的内角度数均是360°的约数，而只有D
显然135°不是360°的约数，所以限定用正八边形这一种正多边形来镶嵌，不能镶嵌成一个平面，故选D．
解答过程：D
解题后的思考：判断用同种正多边形能不能进行镶嵌时，只需用360°除以这个正多边形的内角．如果能整除，就能进行平面镶嵌；如果不能整除，就不能进行平面镶嵌．
例8. 我们常见到如图所示图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样的材料能铺成平整、无空隙的地面．
（1）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．
（2）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．
思路分析：
1）题意分析：这是一道平面镶嵌的实际应用问题．
2）解题思路：解答此题时要注意观察周围环境中的镶嵌问题，从中找到灵感，还要进行多次尝试，善于创新．
解答过程：（1）符合要求的铺地方案很多，下面提供几例作为参考．
（2）符合要求的铺地方案很多，下面提供几例作为参考．
解题后的思考：在实际生活中，镶嵌平面时最常用的是四边形，有时也会用三角形和六边形，不管用什么样的图形，只要满足镶嵌的条件即可．
小结：平面镶嵌的关键是使拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°．
提分技巧
本讲我们探索归纳了几条规律，正确利用这些规律可大大加快解题速度和准确程度：
2. n边形的内角和：（n－2）·180°，n边形的外角和是360°，与边数无关．
3. 根据镶嵌的定义可知，用一种相同的多边形能否镶嵌平面，关键是看这种多边形的几个内角之和是否等于360°（或180°），如图①和②所示；用一种相同的正多边形能否镶嵌平面，关键是看周角360°能否被正多边形的一个内角的度数整除，如图③④⑤所示．用多种多边形镶嵌平面时，如图⑦⑧⑨所示，要看两点：a. 拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）；b. 相邻的多边形有公共边．
预习导学
七年级数学期中复习
一、预习新知
1. 相交线与平行线；
2. 平面直角坐标系；
3. 三角形．
二、预习点拨
探究与反思
探究任务一：相交线与平行线
【反思】（1）相交线有什么性质？
（2）怎样判定两条直线平行，平行线有什么性质？
（3）平移的性质是什么？
探究任务二：平面直角坐标系
【反思】（1）坐标平面内各象限和坐标轴上的点的坐标有什么特点？
（2）平面直角坐标系有什么作用？
探究任务三：三角形
【反思】（1）三角形的三边关系是怎样的？
（2）多边形的外角和是多少？怎样计算多边形的内角和？
（3）什么样的图形可以进行平面镶嵌？
同步练习（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 一个多边形的每个内角都等于120°，这个多边形的边数为（ ）条
A.
5 B.
2. 用正四边形一种图形进行平面镶嵌时，它在一个顶点周围的正四边形的个数为（
）
A.
2个 B.
3个 C.
4个 D.
5个
3. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么它的一个外角为（ ）
A.
30° B.
36° C.
40° D.
45°
4. 多边形的内角和不可能是（ ）
A.
810° B.
540° C.
1800° D.
180°
5. 如果多边形的边数增加1，则多边形的内角和、外角和分别（ ）
A.
增加180°，增加180° B.
不变，增加180°
C.
不变，不变 D.
增加180°，不变
6. 能够铺满地面的正多边形组合是（ ）
A.
正八边形和正方形 B.
正五边形和正十边形
C.
正四边形和正六边形 D.
正四边形和正七边形
*7. 在n边形一边上取一点与各顶点相连，可得三角形的个数为（ ）
A.
n个 B.
（n－2）个 C. （n－1）个 D. （n＋1）个
*8. 过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形的边数为（ ）条
A.
9 B.
二、填空题
9. 在正六边形ABCDEF中，∠A＝120°，AB＝
10. 一个正多边形的每个外角都是72°，则这个多边形是__________边形．
11. n（n为整数，且n≥3）边形的内角和比（n＋1）边形的内角和小__________度．
12. 从n边形的一个顶点出发共引出了5条对角线，则这个n边形是__________边形，这5条对角线把n边形分成了__________个三角形．
*13. 如果用三种正多边形地砖镶嵌地面，一个顶点处已有一个正方形和一个正六边形地砖，则还需一个正__________边形地砖．
**14. 用正三角形与正方形两种图案作平面镶嵌，设在一个顶点周围有a个正三角形和b个正方形，则a＝__________，b＝__________．
三、解答题
15. 若一个多边形的各边都相等，周长为63，且内角和为900°，求它的边长．
16. 如图所示，（1）四边形共有__________条对角线，五边形共有__________条对角线，六边形共有__________条对角线；
（2）你能说出七边形共有多少条对角线吗？
（3）由（1）、（2），请猜想n边形的对角线的总条数，说说你的理由．
*17. 将五边形截去一个角后所得的多边形有几条对角线？
*18. 小军在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，求：
（1）这个多边形是几边形？
（2）这个内角是多少度？
四、拓广探索
**19. （1）填表：
|
正多边形 |
3 |
4 |
5 |
6 |
… |
n |
|
正多边形每个内角的度数 |
|
|
|
|
… |
|
（2）如果限用一种正多边形进行平面镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边（方）形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出这两种不同的正多边形进行平面镶嵌的草图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形，说明你的理由．
试题答案
一、选择题
1. B
2. C
3. C 解析：因为（n－2）·180°＝1260°，解得n＝9．这个多边形的每个内角都相等，每个外角也都相等．所以它的一个外角是360°÷9＝40°．
4. A 解析：用内角和公式验证．
5. D 解析：外角和与边数无关，故不变．内角和的变化从公式（n－2）·180°中可以看出，n增加1，内角和增加180°．
6. A 解析：正八边形的一个内角是135°．在一个顶点处，两个正八边形和一个正方形可拼出135°×2＋90°＝360°．所以正八边形和正方形组合能铺满地面．
7. C 解析：可采用归纳猜想法，当n＝3时，得三角形2个；当n＝4时，得三角形3个；…；n边形得三角形（n－1）个．
8. C 解析：过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成的9个三角形中，除去两端各一个三角形，中间的7个三角形分别含有多边形的一条边，两端的三角形各含有多边形的两条边．所以多边形的边数是2＋7＋2＝11（条）．
二、填空题
9. 120°，
10. 正五
11. 180
12. 八，6 解析：这5条对角线是从一个顶点引出的，并不是所有的对角线条数．
13. 十二 解析：根据题意，另一个正多边形的内角是360°－90°－120°＝150°，所以（n－2）·180°＝150°×n，解得n＝12．
14. 3，2
解析：根据题意有60°×a＋90°×b＝360°，即
三、解答题
15. 解：设该多边形有n条边，则（n－2）×180°＝900°，解得n＝7．因为63÷7＝9，所以这个多边形的边长为9．
16. 解：（1）2，5，9（2）14．因为过七边形的一个顶点可引4条对角线，故过7个顶点可引28条对角线，由于每条对角线均重复计算一次，所以七边形共
17. 解：因为将五边形截去一个角后可能得到四边形、五边形、六边形三种（如图所示）多边形．当得到四边形时，
18. 解：（1）设这是一个n边形，则（n－2）·180°＝1125°，n＝8.25，故这个多边形是九边形；（2）135°．设这个内角为x°，
则（9－2）×180°＝1125°＋x°，解得x＝135．
四、拓广探索
（2）根据角的度数知，正三角形、正方形、正六边形可完成平面镶嵌．（3）如正方形和正八边形，草图如图所示，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，则m·90°＋n·135°＝360°，即
