课程解读

一、学习目标：

1. 认识圆锥，知道圆锥的特点。

2. 能说明圆锥与圆柱的区别和联系。

3. 使同学们理解和掌握求圆锥体积的计算公式，并能正确运用公式求出圆锥的体积。

4. 培养同学们初步的空间观念、逻辑思维能力、动手操作能力。

5. 向同学们渗透知识间“相互转化”的辩证唯物主义思想，在联系实际中对同学们进行学习目的方面的思想教育。

二、重点、难点：

重点：理解并掌握圆锥体积公式，会运用公式解决问题

难点：圆锥体积的计算。

三、考点分析：

“圆锥的认识”是小学阶段几何知识学习的最后部分。是在同学们掌握圆柱的认识、圆柱的表面积和圆柱的体积的基础上进行教学的。要求同学们要熟练掌握这部分内容。本节课的内容在考试中经常以解决问题的形式出现，所占的分值一般为4~6分。

知识梳理

知识点一：圆锥的认识

（1）圆锥的组成

（2）测量圆锥高的方法

第一步：把圆锥的底面放平；

第二步：用一块平板水平放在圆锥的顶点上面；

第三步：竖直地量出平板和圆锥底面之间的距离。

知识点二：圆锥体积的计算

圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的

圆锥的体积=×底面积×高

V=Sh

典型例题

方法应用题

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查同学们对于圆锥体积计算公式的应用。

2）解题思路：本题可以先根据圆锥体的底面周长求出底面半径，进而求出其底面积，然后求出这个小麦堆一共有多少立方米（体积)，最后与750相乘，即可求出小麦的重量。

解答过程：

r===4（m)

V=πr²·h

=×3.14×4²×3

=50.24（m³）

这堆小麦的重量为：

750×50.24=37680（kg）

答：这堆小麦重37680千克。

解题后的思考：求圆锥的体积，要根据具体条件而定。如果已知圆锥的底面积和高可以直接应用公式：V=S·h，求出体积；如果给出的是底面半径、直径或周长和高，就要先求出底面积，再应用公式来求体积。

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查同学们对于圆锥体积公式的运用情况。

2）解题思路：本题要求圆锥的底面积，可以列方程求解，也可直接利用公式来求出底面积。

解答过程：

解法1：解：设圆锥的底面积为平方厘米。

×6=54

2=54

=27

解法2：S=3V÷h

=3×54÷6

=27（平方厘米）

答：圆锥的底面积是27平方厘米。

解题后的思考：如果已知圆锥的体积和底面积，求高可以用以下公式：

h=V÷÷S或h=3V÷S；

同理，如果已知圆锥的体积和高，求底面积，可以根据公式S=3V÷h求出。

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查同学们运用圆柱与圆锥之间的关系解决生活中的问题的能力。

2）解题思路：要使削成的圆锥的体积最大，则圆锥与圆柱需等底等高，削成的圆锥的体积等于圆柱体积的，削去的部分是圆柱体积的。

解答过程：

3.14×（20÷2）²×24×（1－）

=3.14×100×24×

=5024（立方厘米）

答：要削去5024立方厘米。

解题后的思考：如果把一个圆柱形木料加工成一个最大的圆锥体，这个圆锥体就与这个圆柱体等底等高，圆锥的体积就是这个圆柱体积的，削去的体积就是这个圆柱体积的。

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查同学们运用所学知识解决实际问题的能力。

2）解题思路：根据题意，将圆锥形容器中的水倒入圆柱形容器中后，体积不变，所以，圆锥形容器的容积与圆柱形容器中装水部分的容积相等，底面积相同，我们可以设它们的底面积为S，并满足S圆锥=S圆柱

解答过程：

解：设液面的高度为h，则

×S×12=S·h

h=4

答：液面的高将是4厘米。

解题后的思考：等底等体积的圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的，圆锥的高是圆柱的3倍；等高等体积的圆柱和圆锥，圆柱的底面积是圆锥的，圆锥的底面积是圆柱的3倍。

综合运用题

① ②

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查同学们对于圆锥体积公式的理解和运用。

2）解题思路：以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周成圆锥，则作轴的这条直角边就是圆锥的高，另一条直角边就是圆锥的底面半径。在图①中，圆锥的底面半径是3cm，高是4cm；在图②中圆锥的底面半径是4cm，高是3cm，先根据公式V=πr²·h，求出两个圆锥的体积，再比较它们的大小。

解答过程：

圆锥①的体积：V=πr²·h=×3.14×3²×4=37.68（cm³）

圆锥②的体积：V=πr²·h=×3.14×4²×3=50.24（cm³）

50.24cm³＞37.68cm³

答：圆锥②的体积大。

解题后的思考：以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周形成圆锥，则作轴的这条直角边就是圆锥的高，另一条直角边就是圆锥的底面半径。在以直角三角形的直角边为轴旋转而成的两个圆锥中，以较短的直角边为轴旋转而成的圆锥的体积较大。

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查同学们运用圆锥体积的知识解决实际问题的能力。

2）解题思路：本题是求圆锥形煤堆的体积和煤的重量。我们先应根据圆锥体积的计算公式求出煤堆的体积，再计算出煤的重量。

解答过程：

圆锥形煤堆的体积是：

3.14×1.5²×1.1×

=3.14×2.25×1.1×

=7.7715×

=2.5905（m³）

这堆煤的重量大约是：

1.4×2.5905=3.6267≈4（t）

答：这堆煤的体积是2.5905立方米。这堆煤约有4吨重。

解题后的思考：计算物体的重量时，我们先要求出物体的体积，然后再根据题目给出的条件求出物体的重量。

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查同学们灵活运用所学知识的能力。

2）解题思路：在本题中，我们要将圆锥的体积转换为长方体的体积，物体的形状虽然发生了变化，但是它的体积并没有发生改变。所以在解题时，应先求出圆锥形沙堆的体积，也就是铺路面的长方体的体积，然后再根据已知条件求出长方体的长。

解答过程：

28.26×2.5×=23.55（m³）

23.55÷10÷（2÷100）=117.75（m）

答：能铺117.75米。

解题后的思考：在解答这类题时，同学们首先要找到题目中不变的量，然后再根据已知条件去求变换的量。例如上面这道题中就是圆锥形沙堆的体积不变，圆锥形沙堆的体积也就是长方体的体积。我们找到了不变的量才能根据已知条件去求变量。

提分技巧

圆锥这部分内容是小学数学中几何初步知识的重要内容之一。本节课学习的主要任务是认识圆锥，了解它的各部分名称，进一步帮助学生建立空间观念，为学生在中学学习立体几何做好知识上的准备，并能运用所学的圆锥的体积计算公式解决实际问题。

预习导学

同学们，我们以前学过商不变的性质和分数的基本性质，联想这两个性质，想一想，在比中又有什么样的规律呢？下节课我们就来探索比例的意义和基本性质。

一、预习新知

1. 比例的意义

2. 比例的基本性质

二、预习点拨

探究与反思

探究任务一：比例的意义是什么？

【反思】（1）什么叫做比例？

（2）比例的各部分名称是什么？

探究任务二：比例有哪些基本性质？

【反思】（1）怎样利用比例的基本性质解与比例有关的题？

同步练习（答题时间：45分钟）

一、填空

1. 圆锥的底面是个（ ），侧面是个（ ），展开后得到一个（ ）。

2. 从圆锥的（ ）到底面（ ）的距离是圆锥的高。

3. 一个直角三角形，以它的一条直角边为轴旋转一周，得到一个（ ）图形

4. 一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆锥的体积等于圆柱体积的（ ）；圆柱的体积等于圆锥体积的（ ）。如果圆锥的体积是18立方厘米，那么圆柱的体积是（ ）；如果圆柱的体积是18立方厘米，那么圆锥的体积是（ ).

5. 把一个高是30厘米的圆锥体容器装满水后，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，液面的高度是（ ）。

6. 一个圆锥体的底面半径是6厘米，高是1分米，体积是（ ）立方厘米。
7. 等底等高的圆柱体和圆锥体的体积比是（ ），圆柱的体积比圆锥的体积多（ ）%，圆锥的体积比圆柱的体积少（ ）
8. 把一个圆柱体钢坯削成一个最大的圆锥体，要削去1.8立方厘米，未削前圆柱体的体积是（ ）立方厘米。
9. 一个圆柱体的侧面展开后，正好得到一个边长为25.12厘米的正方形，圆柱体的高是（ ）厘米。
10. 用一个底面积为94.2平方厘米，高为30厘米的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面积为31.4平方厘米的圆柱形容器内，水的高为（ ）。

二、解决问题

1. 一个圆锥体的体积是15.7立方分米，底面积是3.14平方分米，它的高是多少分米。
2. 工地上运来6堆同样大小的圆锥形沙堆，每堆沙的底面积是18.84平方米，高是0.9米。这些沙有多少立方米？如果每立方米沙重1.7吨，这些沙有多少吨？

3. 有一段钢可做一个底面直径为8厘米，高为9厘米的圆柱形零件。如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？

试题答案

一、填空

1. 圆锥的底面是个（ 圆 ），侧面是个（ 曲面 ），展开后得到一个（ 扇形 ）。

2. 从圆锥的（ 顶点 ）到底面（ 圆心 ）的距离是圆锥的高。

3. 一个直角三角形，以它的一条直角边为轴旋转一周，得到一个（ 圆锥 ）图形。

4. 一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆锥的体积等于圆柱体积的（）；圆柱的体积等于圆锥体积的（ 3倍 ）。如果圆锥的体积是18立方厘米，那么圆柱的体积是（ 54立方厘米 ）；如果圆柱的体积是18立方厘米，那么圆锥的体积是（ 6立方厘米 ）

5. 把一个高是30厘米的圆锥体容器装满水后，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，液面的高度是（ 10厘米 ）。

6. 一个圆锥体的底面半径是6厘米，高是1分米，体积是（376.8 ）立方厘米。
7. 等底等高的圆柱体和圆锥体的体积比是（ 3：1 )，圆柱的体积比圆锥的体积多（ 200 ）%，圆锥的体积比圆柱的体积少（ 66.7% )
8. 把一个圆柱体钢坯削成一个最大的圆锥体，要削去1.8立方厘米，未削前圆柱体的体积是（ 2.7 ）立方厘米。
9. 一个圆柱体的侧面展开后，正好得到一个边长为25.12厘米的正方形，圆柱体的高是（ 25.12 ）厘米。
10. 用一个底面积为94.2平方厘米，高为30厘米的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面积为31.4平方厘米的圆柱形容器内，水的高为（ 30厘米 ）。

二、解决问题

1. 一个圆锥体的体积是15.7立方分米，底面积是3.14平方分米，它的高是多少分米。
h=V÷S=15.7÷=15（分米)
答：它的高是15分米。
2. 工地上运来 6 堆同样大小的圆锥形沙堆，每堆沙的底面积是18.84平方米，高是0.9米。这些沙有多少立方米？如果每立方米沙重1.7吨，这些沙有多少吨？
V=Sh×6=×18.84×0.9×6=33.912（立方米）
1.7×33.912=57.6504（吨）
答：这些沙有33.912立方米。有57.6504吨。

3. 有一段钢可做一个底面直径为8厘米，高为9厘米的圆柱形零件。如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？

底面半径 8÷2=4（cm）

圆柱体积V=πr²·h=3.14×4²×9=452.16（立方厘米）

圆锥体积V=Sh

S=V÷h=452.16÷（×12)=113.04（平方厘米)

答：零件的底面积是113.04平方厘米。