【本讲教育信息】
一. 教学内容:
代数部分:二元一次方程组
几何部分:直线
二. 重点与难点:
重点:
代数:二元一次方程组的解法
几何:直线的概念与直线的性质公理
难点:
代数:如何选择适当的方法求解二元一次方程组
几何:直线的性质公理及应用
三. 教学目的:
代数
1. 使学生能够灵活运用代入法,加减法解二元一次方程组
2. 逐步培养学生分析问题和解决问题的能力
几何
使学生掌握直线的有关一些概念,表示方法及有关直线的公理。
四. 教学过程
代数部分:
(一)复习
1. 代入法、加减消元法的基本思路是什么?
2. 用代入法及加减法解二元一次方程组的一般步骤
3. 代入法、加减消元的选择方法
(二)例题
例1. 解方程组
分析:本题比较复杂,应化简成一般形式后再看如何消元
解:化简方程组,得
把x=9代入(4),得
总结:当方程组比较复杂时,应先化简,再利用去分母,去括号、移项,合并同类项等方法把方程组化成一般形式;利用消元法求出一个未知数值后,可以把它代入方程求出另一个未知数。对一些具有特色的方程组,宜采用简便,灵活的解题方法,本例还可这样解。
设
例2. 已知关于x、y的方程组的解满足方程
,求m的值。
分析:方程组的两个方程相加可消去未知数y,相减可消去未知数x,分别得到用m表示x,y的代数式,再将这两个代数式代入方程即可得到关于m的一元一次方程,从而求出m。
解:
把(3)、(4)代入方程
总结:此题综合运用加减法和代入法,达到消元的目的,体现了对灵活能力的考查。
几何部分
(一)复习
1. 直线的定义
2. 直线有两种表示方法
3. 直线的性质公理
4. 点与直线的位置关系
5. 根据直线的性质公理确定公共点
(二)例题
例1. 解答下列问题:
(1)过一个已知点可以画多少条直线?
(2)过两个已知点可以画多少条直线?
(3)过三个已知点一定可以画出直线吗?
(4)经过平面上三点A、B、C中的每两点可以画多少条直线?
(5)借鉴(4)的结论,猜想经过平面上四点A、B、C、D中的任意两点画直线会有什么样的结果?如果不能画,请简要说明理由,如能画,画出图来。
解:(1)过一点可以画无数条直线。
(2)过两个已知点可以画惟一的一条直线
(3)过三个已知点不一定能画出直线,当三点不共线时,不能作出直线;当三点共线时,能画一条直线。
(4)当A、B、C三点不共线时,过其中的每两点可以画一条直线,所以共有三条直线;当A、B、C三点共线时,上面画的三条直线重合了,只能画一条直线,如图
(5)经过平面内四点中的任意两点画直线有三种结果,如图
①当A、B、C、D四个点在同一条直线上时,只可以画出一条直线
②当A、B、C、D四个点中有三个点在同一条直线上时,可画出4条直线。
③当A、B、C、D四个点中任意三个点都不在同一条直线上时,可画出6条直线。
说明:题(3)和题(4)中没有明确给出平面上三点或四点是否在同一条直线上,解答时要分各种可能情况解答。这种解答方法叫分类讨论。运用这种方法时,要考虑到可能出现的所有情形,不能丢掉一种,否则就不完整,不全面。
例2. 画出三条直线两两相交的图形。
分析:三条直线中,每一条直线与其他两条直线相交,叫做三条直线两两相交,符合这种说法的几何图形有两种情况。
解:如图
(1)直线l、m交于点A,直线l、n交于点C,直线m、n交于点B。
(2)直线l、m、n中任两条交于点O。
说明:(1)画图时要注意直线的画法,如图中的直线l,m,n都要画出头。
(2)这类题把几何语言转化成图形,我们形象地把它叫做“翻译”,“翻译”时一定要理解题设中每个字、词的意义。如“三条直线两两相交”的意义;“过平面上三点画直线”与“过平面上三点中任意两点画直线”、“过平面上不在同一直线上三点中任两点画直线”的区别等,不同的说法画出的图形不一样。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
一. 选择题
1. 平面内四点,任何三点都不在一条直线上,过每两点引一条直线共能引( )直线。
A. 3条 B. 4条 C. 5条 D. 6条
2. 下列说法错误的是( )
A. 两条直线相交只有一个交点
B. 无数条直线可经过同一点
C. 三条直线相交,有三个交点
D. 直线MN和直线NM是同一条直线
3. 已知同一平面内的四点,过其中任意两点画直线,仅能画四条,则这四条的位置关系是( )
A. 任意三点不在同一直线上
B. 四点都不在同一直线上
C. 最多三点在一直线上
D. 三点在一直线上,第四点在直线外
4. 图中表示正确的是( )
A. 点a B. 直线ab C. 直线AB D. 直线l
二. 1. 解方程组
2.
【试题答案】
一. 1. D 2. C 3. D 4. D
二. 1.
2.