课程解读

一、学习目标：

1. 理解圆周运动，线速度，角速度，周期，频率，向心加速度，向心力的概念。

2. 掌握线速度，角速度，向心加速度及向心力之间的关系。

3. 会利用学过的圆周运动知识处理生活中的圆周运动问题。

二、重点、难点：

重点：线速度，角速度，向心加速度及向心力之间的关系

难点：灵活处理与实际生活相结合的圆周运动问题

三、考点分析：

圆周运动是生活中常见的一种运动形式，此知识点在高考中常与天体运动、复合场问题结合出题，是高考中的常考及重点题型，需要我们认真熟练掌握。

内容和要求	考点细目	出题方式
理解并能描述圆周运动的概念	线速度，角速度，周期，频率，向心力及向心加速度的概念	选择题
熟练掌握并能描述圆周运动的几个量之间的关系	描述圆周运动各物理量的关系及圆周运动的动力学问题和圆周运动的周期性问题	选择题、计算题
学会处理与实际相结合的圆周运动问题	会处理生活中的圆周运动问题	选择题、计算题

知识梳理

一、圆周运动

圆周运动：质点的运动轨迹是圆或圆的一部分的运动叫做圆周运动

匀速圆周运动的特点：①轨迹是圆 ②速度大小是不变的

二、描述圆周运动快慢的物理量

物理量	大小	单位	方向
线速度v	v＝s/t v＝2π r/T	m/s	沿圆弧的切线方向
角速度ω	ω＝θ/t ω＝2π/T	rad/s	有
周期T	T＝1/f	S	标量（无）
频率f	f＝1/T	Hz	标量（无）
转速n	n＝f＝1/T	r/s或r/min	标量（无）

注：

1. 匀速圆周运动是角速度、周期、频率、转速都不变的运动！

2. 当ω一定时，v与r成正比

当v一定时，ω与r成反比

当r一定时，v与ω成正比

3. 两个重要结论

（1）传动装置线速度的关系

a、皮带传动－线速度相等

b、齿轮传动－线速度相等

主动轮通过皮带、链条、齿轮等带动从动轮的过程中，皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等。

（2）同轴转动问题

同轴转动轮上各点的角速度相等。

三、圆周运动的动力学问题

1. 向心加速度：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心。

大小：

方向：始终与线速度方向垂直

2. 向心力：指向圆心的合力

大小：

方向：始终与线速度方向垂直

四、离心运动

当F＜m²r 物体做离心运动

当F＝m²r 物体做圆周运动

当F＞m²r 物体做向心运动

当F＝0 物体做匀速直线运动

离心现象的应用：洗衣机脱水桶，离心管技术等

离心现象的防治：高速运转的砂轮，飞轮，汽车转弯时等

典型例题

知识点一：描述圆周运动的物理量及各量之间的关系

例1：对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是（ ）

A. 速度不变 B. 周期不变 C. 加速度不变 D. 合力不变

正确答案：B

解题过程：匀速圆周运动中速度大小不变方向时刻改变，加速度和合力方向也是时刻变化的

解题后思考：匀速圆周运动中不变量有速度的大小，加速度大小，向心力大小，周期，频率均为恒值。

变式训练1－1：对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是 （ ）

A. 相等的时间里通过的路程相等

B. 相等的时间里速度变化量相等

C. 相等的时间里发生的位移相同

D. 相等的时间里转过的角度相等

正确答案：AD

解题过程：相等的时间里走过的弧长相等即路程相等，相等的时间里发生的位移的大小相同但是方向不同，相等的时间里速度变化量的大小相等但方向与向心加速度和向心力方向一致，时刻变化，B、C均没考虑方向故正确选项为AD。

解题后思考：注意比较矢量时，要注意比较矢量的方向。

例2：一个物体以角速度ω做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是： （ ）

A. 轨道半径越大线速度越大 B. 轨道半径越大线速度越小

C. 轨道半径越大周期越大 D. 轨道半径越大周期越小

正确答案：A

解题过程：根据可知ω一定时r越大则线速度v越大，由可知周期和加速度的关系与半径无关。故正确答案为A。

解题后思考：掌握角速度和周期之间的关系。

变式训练2－1：A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为 （ ）

A. 1：1 B. 2：1 C. 4：1 D. 8：1

正确答案：D

解题过程：由可知D正确。

解题后思考：知道向心加速度和转速之间的关系。

例3：如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则：（ ）

①a点和b点的线速度大小相等

②a点和b点的角速度大小相等

③a点和c点的线速度大小相等

④a点和d点的向心加速度大小相等

A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④

正确答案：C

解题过程：皮带传动各点线速度相等即，同轴转动各点角速度相等即，根据可知所以①②不正确，③正确，由分别将ad两点的角速度和半径代入可知a、d两点的向心加速度相等。

解题后思考：熟练掌握线速度和角速度之间的关系和会利用皮带传送和同轴转动的两个结论。

变式训练3－1：如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B 、C分别是三个轮边缘的质点，且R_A＝R_C＝2R_B，则三质点的向心加速度之比a_A：a_B：a_C等于（ ）

A. 4：2：1 B. 2：1：2 C. 1：2：4 D. 4：1：4

正确答案：A

解题过程：由图可知，，由可知由将A、B、C三点角速度和半径代入得向心加速度之比为4：2：1，故正确答案应为A。

解题后思考：熟练掌握线速度和角速度之间的关系和会利用皮带传送和同轴转动的两个结论。

知识点二：圆周运动的动力学关系

例4. 用细线拴着一个小球，在光滑水平面上做匀速圆周运动，有下列说法，其中正确的是 （ ）

A. 小球线速度大小一定时，线越长越容易断

B. 小球线速度大小一定时，线越短越容易断

C. 小球角速度一定时，线越长越容易断

D. 小球角速度一定时，线越短越容易断

正确答案：BC

解题过程：由向心力公式可知角速度一定时，线越长半径越大，则需要的向心力越大，线越容易断，故C选项正确，由可知当线速度一定时，线越短r越小，需要的向心力越大，线越容易断。故B正确。

解题后思考：向心力与运动学量之间的关系。

变式训练4－1：如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于O点，在O点正下方的P点钉一颗钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时：（ ）

①小球的瞬时速度突然变大 ②小球的加速度突然变大

③小球所受的向心力突然变大 ④悬线所受的拉力突然变大

A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D.①②③

正确答案：B

解题过程：速度不能发生突变，当绳子碰到钉子时，做圆周运动的轨迹半径变小，由可知当半径变小时，向心力变大，物体的质量没变，故向心加速度也变大，由于可知绳子的拉力也是变大的。故正确选项为B。

解题后思考：熟练掌握向心力与运动学量之间的关系。

例5：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v 、周期T 的关系。（小球的半径远小于R）

正确答案：

解题过程：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。则有

由此可得

可见，越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。

解题后思考：本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向在水平方向。

变式训练5－1：如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是：（ ）

A. v_A＞v_B B. ω_A＞ω_B C. a_A＞a_B D. 压力N_A＞N_B

正确答案：A

解题过程：A、B两球做匀速圆周运动的向心力相同，由弹力和重力的合力提供，受力情况相同，故对漏斗内壁的压力相同，由公式可知当力F和m一定时，随半径的变化角速度和线速度的大小关系即半径越大线速度越大，角速度越小。故A正确。

解题后思考：会分析物体作圆周运动的向心力及熟练掌握向心力和运动学量之间的关系。

知识点三：圆周运动的周期性

例6：如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星O做同方向的圆周运动，已知A行星的周期为T₁，B行星的周期为T₂（），在某时刻两行星第一次相距最近，则（ ）

A. 经过时间t＝T₁＋T₂两行星将第二次相距最近

B. 经过时间两行星将第二次相距最近

C. 经过时间两行星将第一次相距最远

D. 经过时间两行星将第一次相距最远

正确答案：B

解题过程：行星绕恒星运动，万有引力提供向心力，所以，由于可见。当A、B转过的角度满足时，两行星第二次相距最近，即，所以，当A、B转过的角度满足时，两行星第一次相距最远，即，所以，所以应选B。

解题后思考：理解角速度和周期的关系，掌握两者在实际生活中的应用。理解最远和最近如何表示为数学关系式。

变式训练6－1：如图所示，半径为R的圆板置于水平面内，在轴心O点的正上方高h处，水平抛出一个小球，圆板做匀速转动，当圆板半径OB转到与抛球初速度方向平行时，小球开始抛出，要使小球和圆板只碰一次，且落点为B，求：（1）小球初速度的大小。（2）圆板转动的角速度。

正确答案：（1）R（2）2πn（n＝1，2，…）

解题过程：

（1）小球做平抛运动，在竖直方向：h＝gt²，t＝

在水平方向：s＝v₁t＝v₀ ＝R 所以v₀＝R

（2）因为t＝nT＝n 即 ＝n 所以ω＝2πn（n＝1，2，…）

解题后思考：此题涉及到平抛运动和圆周运动结合问题，注意找出两中运动的时间的关系，注意考虑圆周运动的周期性。

知识点四：现实生活中的圆周运动

例7：火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度决定。若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是（ ）

①当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力

②当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力

③当速度大于v时，轮缘挤压外轨

④当速度小于v时，轮缘挤压外轨

A. ①④ B. ①③ C. ②③ D. ②④

正确答案：B

解题过程：若火车在拐弯处轨道面倾角为θ，应有：

当r、θ一定时，火车以相应速度v行驶，可不受外轨的旁推力作用，当然外轨、内轨均不受车的推力作用。但若车速v′＞v，则仍需外轨对车有向内的推力，若车速过大，F′仍不能满足火车拐弯所需的向心力，火车仍有出事故的危险。若v″＜v，则内轨需使用向外的推力。故正确选项为B。

解题后思考：理解火车转弯时向心力的来源以及对火车速度的要求。

例8：下列说法中错误的是：（ ）

A. 提高洗衣机脱水筒的转速，可以使衣服甩得更干

B. 转动带有雨水的雨伞，水滴将沿圆周半径方向离开圆心

C. 为了防止发生事故，高速转动的砂轮、飞轮等不能超过允许的最大转速

D. 离心水泵利用了离心运动的原理

正确答案：B

解题过程：提高转速，使所需向心力增大到大于物体所受合外力。可使衣服上的水更多的离开衣服，故A选项正确，D选项正确。要防止离心现象发生，应减小物体运动的速度，使物体做圆周运动时所需的向心力减小，故C选项正确。

解题后思考：掌握利用和防止离心现象的方法，会结合实际，提出合理的办法。

提分技巧

1、匀速圆周运动中线速度的大小不变但方向时刻改变，在匀速圆周运动中不变的量有运动周期，频率，向心力及向心加速度的大小。

2、熟记线速度与角速度的关系式，知道线速度和角速度在半径一定时成反比关系，熟记向心加速度和向心力与各运动量之间的关系。会对物体进行受力分析，找出物体向心力的来源。找准公式中半径的大小。

3、求解圆周运动问题时要注意考虑到圆周运动的周期性。

4、使原来做圆周运动的物体做离心运动的方法：A、提高转速，使所需向心力增大到大于物体所受合外力。B、减小合外力或使其消失。

防止离心现象发生的方法：A、减小物体运动的速度，使物体做圆周运动时所需的向心力减小B、增大合外力，使其达到物体做圆周运动时所需的向心力。

预习导学

一、预习新知

第五章 曲线运动复习

二、预习点拨

1、复习圆周运动的规律及尝试分析竖直平面内的圆周运动问题

2、平抛运动的规律及其应用

同步练习（答题时间：45分钟）

1. 在匀速圆周运动中，角速度是描述（ ）

A. 质点空间位置变化快慢的物理量

B .质点运动快慢的物理量

C. 半径转动快慢的物理量

D .质点速度变化快慢的物理量

2. 下列说法正确的是：（ ）

A. 匀速圆周运动是一种匀速运动

B. 匀速圆周运动是一种匀变速运动

C. 匀速圆周运动是一种变加速运动

D. 物体做圆周运动时，其合力垂直于速度方向，不改变线速度的大小

3. 滑块相对静止于转盘的水平面上，随盘一起旋转时所需向心力的来源是

A. 滑块的重力 B. 盘面对滑块的弹力

C. 盘面对滑块的静摩擦力 D. 以上三个力的合力

4. 如图所示，半径为R的圆筒绕竖直中心轴OO′转动，小物块A靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使A不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为（ ）

A. B. C. D.

5. 在实际修筑铁路时，要根据弯道半径和规定的行驶速度适当选择内外轨的高度差，如果火车按规定的速率转弯，内轨与车轮之间没有侧压力，那么火车以小于规定的速率转弯。则

A. 仅内轨对车轮有侧压力

B. 仅外轨对车轮有侧压力

C. 内、外轨对车轮都有侧压力

D. 内、外轨对车轮均无侧压力

6. 下列关于离心现象的说法正确的是

A. 当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象

B. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动

C. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动

D. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动

7. 如图所示，机器人的机械传动装置中，由电动机直接带动轮子转动，电动机转速恒为2转/秒。若轮子半径为0.05m，则机器人的速度v₁为 m/s；若电动机直接带动半径为0.03m的轮子转动时，机器人的速率v₂为v₁的 倍。

8. 如图所示，两个轮通过皮带传动，设皮带与轮之间不打滑，A为半径为R的O₁轮缘上的一点，B、C为半径为2R的O₂轮缘和轮上的点，O₂C＝2R/3，当皮带轮转动时，A、B、C三点的角度之比：ω_A：ω_B：ω_C＝ ；

A、B、C三点的线速度之比v_A：v_B：v_C＝ ；三点的向心加速度之比a_A：a_B：a_C＝

9. 自行车转弯时，稍一倾斜就过去了，摩托车转弯的倾斜度要大一些。摩托赛车转弯时，倾斜度更大，几乎倒在地上。问：什么力提供向心力？向心力与倾斜度有关吗？有何关系？

10. 在一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度与夹角θ的关系。

11. 如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求

（1）当筒不转动时，物块静止在筒内壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；

（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。

试题答案

1. C 2. C 3. C 4. D 5. A 6. C

7. 0.2π（0.628） 0.6

8. 2：1：1 3：3：1 6：3：2

皮带传动的两个轮子边缘上各点的线速度相等；同一个轮子上各点的角速度相等。

9. 以人为研究对象

转弯时，人随车一起做圆周运动，他的向心力由重力和支持力的合力提供

人的速度越快，人的倾斜度就越大，即倾角θ越大，获得的向心力就越大。

10. （本题考查学生对圆周运动基本规律的认识和理解，考查理解能力、推理能力和处理实际问题的能力。）

设座椅的质量为m，匀速转动时，座椅的运动半径为 ①

受力分析如图，由牛顿第二定律，有

②

③

联立①②③，得转盘角速度与夹角的关系

④

11. （1）当筒不转动时，物块静止在筒内壁A点受到重力、摩擦力和支持力作用而平衡，由平衡条件知摩擦力的大小为：，支持力的大小为：

（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点受到重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为，则有

由几何关系得 联立以上各式解得