【本讲教育信息】

一. 教学内容：

通过展开、折叠，感受平面图形与立体图形的关系

［目标］

1. 认识立体图形与平面图形的关系，知道有些立体图形可展开为平面图形、有些立体图形也可由平面图形围成．

2. 了解正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥的表（侧）面展开图．

3. 能判断出正方体的表面展开图中相对的面和相邻的面．

4. 了解常见几何体的侧面展开图，能根据展开图判断出立体模型．

二. 重点、难点：

1. 通过折叠、展开等数学活动认识棱柱、棱锥的某些特征（如棱柱、棱锥有几条棱，几个面，几个顶点，各条棱之间的关系等）．

2. 能根据裁痕，判断出正方体的表面展开图，掌握正方体的11种展开图．

3. 了解欧拉公式

三. 知识要点

1. 几种特殊几何体的展开图

棱柱：两个全等多边形与一个平行四边形（直棱柱的侧面展开图为矩形）

棱锥：一个多边形与几个边边相连的三角形

圆柱：两个圆和一个矩形

圆锥：一个圆和一个扇形

注意：不是所有的曲面都可以展开为平面．如球．

2. 正方体的11种展开图

总结：

①中间四个面 上、下各一面

②中间三个面 一、二隔河见

③中间两个面 楼梯天天见

④中间没有面 三、三连一线

3. 正多面体

（1）概念：

各条棱相等，个个面都是相同的正多边形的几何体叫正多面体

（2）几种正多面体：

正多面体仅有正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体这五种

可围成下列几何体

（3）欧拉定理：

设几何体的顶点数V，棱数E，和面数F

欧拉公式：V＋F—E＝2

【典型例题】

例1. 哪个图形经过折叠可以围成一个棱柱 （ ）

A B C D

分析：B、C中间有四个矩形，所以应为四棱柱，而B两侧只有两个三角形，C的两个四边形都在一侧，所以不能围成棱柱．A、D中间有三个矩形，所以应为三棱柱，而A的两个三角形都在一侧，所以不能围成棱柱．故只有D可以．

解：选D．

例2. 将一个长方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，至多可以剪________条棱．

分析：有正方体展开图知：还连在一起的边为正方体未剪开的棱．每种情况均为5条．又正方体有12条棱，所以都剪了7条棱．

答：至多可以剪7条．

例3. 如图所示，是一个什么多面体的展开图?

（1）如果1是上面，2是前面，请你指出其他几个面所处的位置?

（2）如果2在左面，6在上面，请指出其他各面所处的位置?

解：易知此图为正方体展开图，剪个纸片标志一下可知：

（1）3是右面；4是后面；5是左面；6是下面．

（2）1是下面；3是前面；4是右面；5是后面．

说明：动手操作最简洁明了．

例4. 一个正六棱柱，它的底边长是6cm，侧棱长都是5cm，它的侧面积是___________cm²．

分析：正六棱柱展开后，侧面为矩形，所以其面积S＝底面周长×侧棱长．而正六棱柱底面为正六边形，边长相等．

解：S＝底面周长×侧棱长＝6×6×5＝180 cm²

例5. 如图，沿长方形纸片上的虚线剪下的阴影部分，恰好能围成一圆柱，设圆半径为r

（1）用含r的代数式表示圆柱的体积；

（2）当r＝8.91cm，圆周率取3.14时，求圆柱的体积．

分析：圆柱的体积V＝底面积×高．而侧面展开图为正方形，所以高＝底面周长

解：（1）高h＝2πr ，底面积S＝πr²

所以体积V＝πr²×2πr＝2π²r³

（2）V＝2π²r³＝2×3.14²×8.91³≈13948.34（）

例6. 如图，有一正方体的房间，在房间内的一角A处有一只蚂蚁，它想到房间的另一角B处去吃食物，试问它采取怎样的行走路线是最近的?如果一只蜜蜂，要从A到B怎样飞是最近呢?

答：把正方体展开，在其包含A、B的两个相连的正方形（两种情况：前面与上面的正方体或者前面与右面的正方体）中连接AB，则蚂蚁沿着展开图中的路线走最近．（两点之间线段最短）若是蜜蜂，则只要直接从A沿体对角线飞到B即可．

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 如图，四个三角形均为等边三角形，将图形折叠，得到的立体图形是 （ ）

A. 三棱锥 B. 圆锥体 C. 棱锥体 D. 六面体

2. 圆柱的侧面展开图是 （ ）

A. 圆形 B. 扇形 C. 三角形 D. 四边形

3. 下面的图形中，是三棱柱的侧面展开图的为 （ ）

A. B. C. D.

4. 下图是那种几何体表面展开的图形 （ ）

A. 三棱柱 B. 正方体 C. 长方体 D. 圆柱体

5. 下图是那种几何体表面展开的图形 （ ）

A. 棱柱 B. 球 C. 圆柱 D. 圆锥

6. 六棱柱一共有 （ ）

A. 6个面 B. 7个面 C. 8个面 D. 9个面

7. 下面这个几何体的展开图形是 （ ）

8. 下列图中，三角形共有 （ ）

A. 4个 B. 6个 C. 9个 D. 10个

9. 二刀可以把豆腐切成 块．

10. 图中的两个图形经过折叠能否为成棱柱?先想一想，再试一试．

（1） （2）

11. 将数字1~8填入正方体中的八个顶点，使每个面上的数字和相等

12. 纸板上有10个无阴影的正方形，从中选出一个，与图中5个有阴影的正方形一起折成一个正方形包装盒，有多少种不同的选法？

分析：中间补成四个面不行；所以只能是中间三个面或者中间没有面的情况．

【试题答案】

1. A 2. D 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D

9. 3或4块

10. 可以．（1）为六棱柱；（2）为三棱柱

11. 三个面相交于一点，则每个点用3次．六个面的总和为（1＋2＋…8）×3＝108，则每个面的和为18．（答案不唯一，满足每个面和为18即可）

12. 中间三个面，一、二隔河见

中间没有面，三、三连一线