【本讲教育信息】
一. 教学内容：
1、圆柱的体积
2、圆柱的切与分
二. 教学重点和教学难点：
圆柱的体积
教学重点：
1、通过动手操作实验，推导出圆柱的体积计算公式，并能运用公式计算圆柱的体积，沟通与其他知识之间的联系。
2、在掌握圆柱体积计算公式的基础上，能够正确地解决实际问题。
3、区分表面积和体积，在解决问题的过程中，正确的进行选择。
教学难点：
1、正确理解计算公式的推导过程。
2、区分圆柱的表面积和体积
圆柱的切与分
教学重点：
1、让学生掌握圆柱在切分拼合的过程中，表面积的变化规律，及每一块表面积和体积的计算方法。
2、在解决问题的过程中培养学生从多个角度灵活考虑问题，会用多种方法和策略解决实际问题，建立优化的思想。
3、在操作中通过观察、比较、体验，培养学生的空间观念以及善于思考，勇于探索创新的精神。
教学难点：1、让学生在头脑中清楚正确地建立切分中形体的特征，发现并灵活的运用规律。
2、通过切分圆柱体使学生掌握切分后表面积和体积的变化，及每一部分表面积、体积的计算方法。
三. 知识简要介绍：
圆柱体积计算公式的推导，关键还是要同学们学习研究数学的一些方法，如：新旧知识之间的变化上，知识之间的内在联系上，具体的方法还有转化法、假设法等等。我们运用的就是把圆柱切开，拼成一个近似的长方体。然后通过观察和推理，得出这个长方体的底面积等于圆柱的底面积S，高就是圆柱的高h。由长方体的体积计算公式得出圆柱的体积计算公式为V＝Sh。学习了体积的知识就要解决实际的问题，具体计算时，应该注意联系生活中的实际来进行解决。
圆柱的切与分研究的关键点是找到不同切分情况之间的区别、变化的规律以及变化后新出现的面的各部分与原来圆柱体之间存在的关系，上面的关系是我们研究的关键也是研究的重点。另外，同学们还要注意体积与表面积之间的变化在切分的情况下是不同的。
规律：体积不变
表面积每切一刀，增加两个面。增加面的个数＝刀数×2
（拼合的情况正好相反）
［知识教学］
一、关于圆柱的体积
（一）旧有知识的复习：
1、什么是体积：
物体有大小之分，它所占有的空间的大小也是不相同的。我们把物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、我们以前学习过哪些物体的体积计算
统一计算的方法：体积＝底面积×高
（二）体积计算
1、公式的推导
推导方法1：
长方体体积＝底面积×高
圆柱的体积＝底面积×高
（教师演示由圆柱转化为长方体的过程。）
追问：计算圆柱的体积需要知道哪些条件？（底面积和高）
推导方法2：
圆柱同长方体、正方体形成方式是一致的。
圆柱的体积＝底面积×高
2、延伸拓展
（2）实际应用
∵大圆柱的体积－小圆柱的体积＝套管的体积
∴套管的体积＝大圆底面积×高－小圆底面积×高
＝（ЛR2－Лr2）×h＝（R2－r2）Лh
方法1：3.14×（10÷2）2×60－3.14×（8÷2）2×60＝1695.6（立方厘米）
方法2：圆环面积×高
［（10÷2）2－（8÷2）2］×3.14×60＝1695.6（立方厘米）
补充条件：
如果1立方厘米钢重7.8克,这根钢管约重多少千克?（得数保留两位）
7.8×1695.6＝13225.68（克）≈13.23（千克）
3、解决问题
下面这个杯子能不能装下这袋奶？（杯子的数据是从里面测量得到的。）
（1）比面积
因为：502.4毫升大于498毫升
所以，能装得下。
（2）比高
498毫升＝ 498 立方厘米
8÷2＝4（厘米）
498÷（3.14×4×4）≈9.9（厘米）
因为：10厘米大于9.9厘米
所以，能装得下。
（3）比底面积
498毫升＝ 498 立方厘米
498÷10＝49.8（平方厘米）
8÷2＝4（厘米）
3.14×4×4＝50.24（平方厘米）
因为50.24平方厘米大于49.8平方厘米
所以，能装得下。
4、区分表面积和体积
做一个无盖的圆柱形的铁皮水桶，水桶底面直径4分米，深7分米。
（1）做一个这样的水桶至少需要铁皮多少平方分米？
（2）这个水桶装满水，每立方分米的水重1千克，这个水桶可以装多少千克水？
解答：（1）4×3.14×7＝87.92（平方分米）
4÷2＝2（分米）
2×2×3.14＝12.56（平方分米）
87.92+12.56＝100.48（平方分米）
（2）4÷2＝2（分米）
2×2×3.14×7＝87.92（立方分米）
87.92×1＝87.92（千克）
5、变化的规律
（1）高不变，底面积的变化就是体积的变化。
（2）底面积不变，高的变化规律就是体积的变化规律。
（3）两者都变，就要综合考虑。
二、圆柱的切与分
1、一个圆柱，要把圆柱沿同一方向分成相等的两个部分,可以怎样切分？
（1）沿着与底面平行的方向切，我们把这种切法叫做横截。
切开以后，两个小圆柱的表面积之和比原来增加了2个相等的底面积。体积没
有发生变化。
（2）沿着底面直径和高的方向切，我们把这种切法叫做纵剖。
切开以后，两块的表面积之和比原来增加了2个相等的长方形的面。（直径乘高改为这个长方形与圆柱有什么关系？长方形的长和宽相当于圆柱体的底面直径和高）体积没有发生变化。
（3）斜切。注意把高截成了长短两部分，两个长边相等，两个短边相等。
这样切完后两块的表面积之和比原来增加了2个椭圆形的面。体积没变。
小结：
（1）切一次表面积之和就会增加两个相等面
如果把底面积相等的两个小圆柱拼成一个大圆柱，表面积会发生什么变化？（表面积就会减少两个面）
（2）无论表面积之和怎样变化，体积之和是不变的。
2、计算每一块的表面积和体积。
同学们发现的规律特别好。下面按照各组切分的方案，计算一下，当把圆柱体分成相等的两部分，每一部分的表面积和体积各是多少？
横切。
表面积有2种求法。
①直接求其中一块的表面积。
S侧：4×3.14×（8÷2）＝50.24（平方厘米）
（注意：小圆柱的高是原来高的一半）
S底×2：（4÷2）2×3.14×2＝25.12（平方厘米）
S表：50.24＋25.12＝75.36（平方厘米）
②用原来圆柱的表面积÷2＋一个底面积
S表÷2：[4×3.14×8＋（4÷2）2×3.14×2]÷2＝62.8（平方厘米）
S底：＝（4÷2）2×3.14＝12.56（平方厘米）
S表：62.8＋12.56＝75.36（平方厘米）
体积：（4÷2）2×3.14×8÷2＝50.24（立方厘米）
（一个圆柱的体积÷2）
纵切。
①直接求其中一块的表面积。（是由上下两个半圆、侧面积的一半、一个长方形组成）
上下两个半圆即一个圆：（4÷2）2×3.14＝12.56
侧面积的一半：4×3.14×8÷2＝50.24
一个长方形的面即d×h:4×8＝32
S表：12.56＋50.24＋32＝94.8
②用原来圆柱的表面积÷2＋一个长方形的面
S表÷2：[4×3.14×8＋（4÷2）2×3.14×2]÷2＝62.8
一个长方形的面即d×h:4×8＝32
S表：62.8＋32＝94.8
体积：（4÷2）2×3.14×8÷2（一个圆柱的体积÷2）
斜切的方法，每一块的表面积没法求出，但能求出每一块的体积
这个模型是由一个底面积为6平方厘米的圆柱，从高的正中间斜着截取一段得到的。
计算这个模型的体积
方法一：6×8－6×（8－4）×＝36（立方厘米）
方法二：6×4+6×（8－4）×＝36（立方厘米）
方法三：6×（4+8）×＝36（立方厘米）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1、填表
（1）
|
底面积 |
高 |
圆柱体积 |
|
21平方厘米 |
3厘米 |
|
|
|
11米 |
121立方米 |
|
3.14平方米 |
|
15.7立方米 |
（2）
|
底面积5平方米 |
高4米 |
圆柱体积 |
|
底面半径2米 |
高1米 |
圆柱体积 |
|
底面直径6分米 |
高2分米 |
圆柱体积 |
|
底面周长6.28厘米 |
高10厘米 |
圆柱体积 |
2、选择
（1）把直径2厘米、高4厘米的圆柱体木棒截成两个小圆柱，表面积增加（ ）平方厘米。
①16 ②3.14 ③8 ④12.56
（2）一个圆柱形木棒，底面半径是2厘米，高3厘米，沿底面直径纵剖后，表面积之和增加了（ ）平方厘米。
①6 ②12 ③24 ④48
（3）把一块圆柱形的钢材沿平行底面的方向截成三节，表面积之和增加了12平方厘米，钢材的底面积是（ ）平方厘米。
①2 ②3 ③4 ④6
3、计算下面图形的体积。（单位：厘米）
4、解决问题
（1）一个圆柱形水桶，底面直径是6分米，高是5分米，这个水桶的容积是多少升？
（2）圆柱体的体积是80立方米，横截面的面积是16平方米，高是多少米？
（3）一根圆柱形的钢材，体积是1.2立方米，底面积是0.2平方米，如果把它平均截成3段，每段长多少米？
（4）一个圆柱的表面积是50平方厘米，底面积是15平方厘米，高6厘米。把这样的两个圆柱拼合成一个圆柱，这个大圆柱的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？
（5）一个圆柱体如果把它的高截掉2厘米，表面积就会减少12.56平方厘米，它的体积减少多少立方厘米？
【试题答案】
1、填表
（1）
|
底面积 |
高 |
圆柱体积 |
|
21平方厘米 |
3厘米 |
63立方厘米 |
|
11米 |
11米 |
121立方米 |
|
3.14平方米 |
5米 |
15.7立方米 |
（2）
|
底面积5平方米 |
高4米 |
圆柱体积 20立方米 |
|
底面半径2米 |
高1米 |
圆柱体积 12.56立方米 |
|
底面直径6分米 |
高2分米 |
圆柱体积 56．52立方分米 |
|
底面周长6.28厘米 |
高10厘米 |
圆柱体积 31．4立方厘米 |
2、选择
（1）把直径2厘米、高4厘米的圆柱体木棒截成两个小圆柱，表面积增加（ ④ ）平方厘米。
①16 ②3.14 ③8 ④6.28
（2）一个圆柱形木棒，底面半径是2厘米，高3厘米，沿底面直径纵剖后，表面积之和增加了（ ③ ）平方厘米。
①6 ②12 ③24 ④48
（3）把一块圆柱形的钢材沿平行底面的方向截成三节，表面积之和增加了12平方厘米，钢材的底面积是（ ② ）平方厘米。
①2 ②3 ③4 ④6
3、计算下面图形的体积。（单位：厘米）
8÷2＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米）
（4×4－2×2）×3.14×30＝1130.4（立方厘米）
答：图形的体积是1130.4立方厘米。
4、解决问题
（1）一个圆柱形水桶，底面直径是6分米，高是5分米，这个水桶的容积是多少升？
6÷2＝3（分米） 3×3×3.14×5＝141.3（立方分米）
141.3立方分米＝141.3升
答：这个水桶的容积是141.3升。
（2）圆柱体的体积是80立方米，横截面的面积是16平方米，高是多少米？
80÷16＝5（米）
答：高是5米。
（3）一根圆柱形的钢材，体积是1.2立方米，底面积是0.2平方米，如果把它平均截成3段，每段长多少米？
1.2÷0.2÷3＝2（米）
答：每段长2米。
（4）一个圆柱的表面积是50平方厘米，底面积是15平方厘米，高6厘米。把这样的两个圆柱拼合成一个圆柱，这个大圆柱的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？
表面积：50×2－15×2＝70（平方厘米）
体积：15×6×2＝180（立方厘米）
答：这个大圆柱的表面积是70平方厘米，体积是180立方厘米。
（5）一个圆柱体如果把它的高截掉2厘米，表面积就会减少12.56平方厘米，它的体积减少多少立方厘米？
底面周长：12.56÷2＝6.28（厘米）
半径：6.28÷3.14÷2＝1（厘米）
减少的体积：1×1×3.14×2＝6.28（立方厘米）
答：减少的体积是6.28立方厘米。