课程解读

一、学习目标：

1. 能画出三角函数（正弦、余弦、正切）的函数图像。

2. 通过图像理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质。

3. 理解函数的图像性质及其图像的变换。

4. 能利用三角函数的图像解决简单的实际问题。

二、重点、难点：

重点：（1）掌握三角函数（y=sinx， y=cosx， y=tanx）的图像性质及其简单的应用。

（2）理解函数的图像及其性质。

难点：三角函数图像的应用

三、考点分析：

从新课标高考命题的内容来看：对三角函数的图像与性质这部分知识点进行考查时的题型有选择、填空和中等难度的大题，都以考查基础知识为主。因此第一轮复习的重点是掌握三角函数的基础知识，并能灵活运用基础知识解决问题。

知识梳理

三角函数的图像与性质

知识要点解析：

一、三角函数的图像与性质：

函数	y=sinx	y=cosx	y=tanx
图像
定义域	R	R
值域	[－1，1]	[－1，1]	R
周期性
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
单调性	增区间：［减区间：	增区间：减区间：	在开区间：上是增函数。
对称性	对称轴方程：直线对称中心坐标：	对称轴方程：直线对称中心坐标：	对称中心坐标：

注意：（1）正弦、余弦函数的图像用“五点法”作图，选择（0，0），（这五个点可作出草图；

（2）三角函数线的概念：

二、函数的图像与性质（

1. 图像：利用“五点法”作函数的图像。令，然后列表、描点、连线。

2. 性质：

（1）定义域：

（2）值域：，（当；

当）

（3）周期性：

（4）奇偶性：是奇函数

是偶函数

（5）单调性：在区间上递增，

在区间上递减。

（6）对称性：对称轴方程：

三、函数+k的图像变换

变换I：振幅变换周期变换相位变换

（1）y=sinx图像的横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）为原来的A倍得到y=Asinx的图像。

（2）y=Asinx图像的纵坐标不变，横坐标伸长（）或缩短（）为原来的倍得到的图像。

的图像向左平移个单位得的图像。

个单位得到的图像。

变换II：振幅变换相位变换周期变换

（1）y=sinx图像的横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）为原来的A倍得到y=Asinx的图像。

（2）的图像向左平移个单位得的图像。

（3）y=Asin（x+）图像的纵坐标不变，横坐标伸长（）或缩短（）为原来的倍得到的图像。

（4）个单位得到的图像。

注意上述两种变换的区别。

典型例题

知识点一：函数的图像与性质

例1. 基础题

1. 函数y=的定义域是_____________。

2. 不等式的解集是____________。

3. 函数的递增区间是____________。

4. 函数的值域是____________。

思路分析：

1. 由结合三角函数线或余弦函数图像求x的取值范围。

2. 利用正、余弦函数图像或三角函数线求不等式的解集。

3. 根据正切函数y=tanx的递增区间求函数的递增区间。

4. 用y表示sinx，再利用求y的取值范围。或用分离常数法求解。

解题过程：

1. 由已知得：

由三角函数线知：角x的取值范围是如图所示的阴影区域。

故函数的定义域是。

2. 在同一坐标系中画出函数y=sinx与y=cosx的图像。

由图知：使成立的x的取值范围（解集）是：

3. 设t=

由函数的递增区间是，

故

即函数的递增区间是

4. 由已知得：（，

整理得：，即函数的值域是［－2，0］

另解：=，令

，显然y是t的减函数，故，即函数的值域是［－2，0］

用这种方法求解时要注意函数的定义域。

如求的值域，采用分离常数法时要注意：

，此时，因，故。

若不考虑定义域会误认为：从而得出错误的结果。

解题后的思考：利用基本三角函数的性质求函数的值域或求函数的单调区间或求令简单的三角不等式成立的x的取值范围等问题是高考常见题型，且几乎都是客观题。我们除要掌握基础知识外，还要掌握一些常用的数学思想方法。要做到触类旁通，如求的值域问题其实与本例第4题的做法一样。

例2. 中等题

1. 函数的最大值是______。

2. 函数的最大值是M，最小值是N，则M+N=_________________。

3. 已知函数

（1）求函数f（x）的最小正周期。

（2）求函数的最大值、单调区间、对称轴方程及取得最大值时x的取值集合。

思路分析：

1. 利用正弦函数递增区间是，则可由建立的不等关系式。

2. 求函数的值域，可利用求解。

3. （1）化简f（x）的函数式，用正弦或余弦表示。再利用T=求出周期。

（2）先确定h（x）的函数解析式，然后再求其最值、单调区间、对称轴方程等。

解题过程：1. 由于f（x）在区间上递增（如图）

2. 由得：

（

，两边平方

整理得：，

3. （1）由

故函数f（x）的最小正周期是

（2）

由

故函数h（x）的增区间是，

最大值是，此时对应的x的值是

故x的取值集合是，

对称轴方程：

解题后的思考：对于求形如的值域问题，及求复杂函数的周期单调时区间、等问题常采用以下变换：。因此这个变换很重要，实质是正、余弦的和（差）角公式的应用。

例3. 创新与应用

已知向量

（1）求函数及对称轴方程。

（2）若函数为偶函数，求的值。

思路分析：（1）由向量的坐标运算，先确定f（x）的解析式，再确定值域和对称轴方程。

（2）由函数是偶函数及x的取值范围确定的值。

解题过程：（1）

＝

故函数f（x）的值域是［－2，2］，对称轴方程是

即

（2）

又

解题后的思考：三角函数与平面向量的结合一直是新课标高考命题的重要题型。以向量为载体具体考查三角函数的恒等变换及三角函数的图像与性质。我们应该关注这种题型。

知识点二：函数的图像与性质

例4. 基础题

1. 函数y=sin2x的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位所得函数的解析式是________。

2. 已知函数的最小正周期是，将y=f（x）的图像向左平移个单位，所得图像关于原点成中心对称，则=_______________。

3. 函数在［0，上的单调递增区间是______________。

思路分析：1. 函数y=sin2x向左平移个单位是：。

2. 由已知得=2，故由平移后的函数图像关于原点对称求||的值。

3. 由正弦函数y=sinx的增区间得：，求出x的取值区间，再赋予k的整数值，从而求出符合条件的单调区间。

解题过程：1. 函数y=sin2x向左平移个单位后得：，再向上平移1个单位后得：

2. 由已知得：=2，故向左平移得：，即

3. 由已知得：

解题后的思考：对函数图像的平移不仅要注意平移的单位，更要注意平移的方向即：x轴方向上的平移是“左加右减”，y轴方向上的平移是“上加下减”，对函数y=的奇偶性的讨论应注意：y=是奇函数的充要条件是：

例5. 中等题

1. 已知函数>0，A>0，的图像如图，求函数f（x）的解析式。

2. 已知函数；

（1）当x时，求函数的值域。

（2）求图像上距原点最近的对称中心坐标。

（3）若角的终边不共线，且。

思路分析：1. 根据函数图像，求出A=3，的值，由当x=时，y=0得出的范围从而求的值。

2. （1）化简函数式为，然后求其值域。

（2）由确定图像上距原点最近的对称中心坐标。

（3）由角的终边不共线，且的值。

解题过程：1. 由图像知：A=3，，又，故函数的解析式为。

2. （1），当x时，，

（2）由，即图像上距原点最近的对称中心坐标是

（3）由已知得：又不共线得：，

解题后的思考：求解函数的解析式问题时，关键是确定这四个量，根据函数的最值确定A，k的值，由函数的周期确定的值，较难确定的是的值。根据“五点法”作图原理知：在一个周期内，图像上升时与x轴的第一个交点满足：；第二个点是图像的最高点，满足：；第三个点是图像下降时与x轴的交点，满足：；第四个点是图像的最低点，满足：；第五个点满足：。由此确定的值（同时注意已知条件中的的取值范围）。