【本讲教育信息】

一. 教学内容：

必修2

第五章曲线运动万有引力与航天（一）

二. 高考考纲及分析

（一）高考考纲

运动的合成与分解（Ⅱ）

抛体运动（Ⅱ）（斜抛运动只作定性要求）

（二）考纲分析

1. 运动的合成与分解由旧考纲的（I）级要求变成新考纲的（Ⅱ）级要求.匀速圆周运动中只有向心力是（Ⅱ）级要求，其他均降为（I）级要求.环绕速度从宇宙速度中分离出来提高为（Ⅱ）级要求.从这些要求的变化来说总起来没有涉及核心内容和主干知识，命题的趋势不会有太大的改变。

2. 平抛运动的规律及其研究方法，圆周运动的角速度、线速度和向心加速度是近年的热点，且多数与电场力、洛伦兹力联系起来综合考查。

三. 知识网络

四. 知识要点

第一单元曲线运动运动的合成与分解

1. 曲线运动的特点

① 作曲线运动的物体，速度始终在轨迹的切线方向上，因此，曲线运动中可以肯定速度方向在变化，故曲线运动一定是变速运动；

② 曲线运动中一定有加速度且加速度和速度不能在一条直线上，加速度方向一定指向曲线运动凹的那一边。

2. 作曲线运动的条件

物体所受合外力与速度方向不在同一直线上。

中学阶段实际处理的合外力与速度的关系常有以下三种情况：

① 合外力为恒力，合外力与速度成某一角度，如在重力作用下平抛，带电粒子垂直进入匀强电场的类平抛等。

② 合外力为变力，大小不变，仅方向变，且合外力与速度垂直，如匀速圆周运动。

③ 一般情误况，合外力既是变力，又与速度不垂直时，高中阶段只作定性分析。

3. 运动的合成与分解

如果某物体同时参与几个运动，那么这物体的实际运动就叫做那几个运动的合运动，那几个运动叫做这个实际运动的分运动。已知分运动情况求合运动情况叫运动的合成，已知合运动情况求分运动情况叫运动的分解。

运动合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述物体运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们都是矢量，所以它们都遵循矢量的合成与分解法则。

合运动和分运动的关系：

（1）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律有相同的效果。

（2）独立性：某方向上的运动不会因为其它方向上是否有运动而影响自己的运动性质。

（3）等时性：合运动通过合位移所需时间和对应的每个分运动通过分位移的时间相等，即各分运动总是同时开始，同时结束的。

第二单元抛体运动

1. 平抛运动

（1）物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运。

（2）平抛运动的处理方法

通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。

（3）平抛运动的规律

以抛出点为坐标原点，水平初速度v₀方向为沿x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，对任一时刻t

① 位移：位移，，合位移

。为合位移与x轴夹角。

② 速度：分速度，v_y=gt，合速度，

。为合速度v与x轴夹角

（4）平抛运动的性质：做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。

2. 斜抛运动

（1）定义：将物体以一定的初速度沿斜向上（或斜向下）抛出，仅在重力作用下物体所做的运动叫做斜抛运动。

（2）斜抛运动的性质：加速度恒为g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。

（3）处理方法：：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动的合运动来处理。

五. 重点、难点解析

1. 运动分解与合成的一般思路

（1）利用运动的合成与分解研究曲线运动的思维流程：

（2）在处理实际问题中应注意：

① 只有深刻挖掘曲线运动的实际运动效果，才能明确曲线运动应分解为哪两个方向上的直线运动。这是分析处理曲线运动的出发点。

② 进行等效合成时，要寻找两分运动时间的联系——等时性.这往往是分析处理曲线运动问题的切入点。

2. 小船过河问题的分析

（1）处理方法：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

（2）若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图甲所示，此时过河时间；

若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间。

3. 绳子末端速度的如何分解?

（1）绳子末端运动速度的分解，应按运动的实际效果进行。

例如在图中，人用绳子通过定滑轮拉物体A，当人以速度v₀匀速前进时，求物体A的速度。

首先要分析物体A的运动与人拉绳的运动之间有什么样的关系。物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：

① 沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v₀；

② 垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长.这样就可以求得物体A的速度。当物体A向左移动，θ将逐渐变大，v_A逐渐变大.虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动。

评价：在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度。合速度就是物体实际运动的速度。由物体的实际运动得是由哪些分运动叠加的，找出相应的分速度.在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出v_A=v₀cosθ的错误结果。

（2）速度投影定理：不可伸长的杆或绳，尽管各点速度不同，但各点速度沿绳方向的投影相同。

4. 平抛运动中几个有用的结论（见例题）

5. 平抛运动的求解方法

（1）常规解法是运动的分解

① 水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另一分运动的存在而受到影响。

② 水平方向和竖直方向的两个分运动及其合运动具有等时性.由可知，平抛物体在空中运动的时间t只决定于物体抛出时离地的高度h，而与抛出时的初速度v₀无关。

（2）特殊的解题方法是选择一个适当的参考系。选择一个自由落体运动物体为参考系，平抛物体相对于这个参考系是水平匀速直线运动；选择一个相同初速度的水平匀速直线运动物体为参考系，平抛物体相对于这个参考系做自由落体运动。这种方法在解判断题时是方便的。

【典型例题】

[例1] 质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F₁时，物体可能做（）

A. 匀加速直线运动； B. 匀减速直线运动；

C. 匀变速曲线运动； D. 变加速曲线运动。

解析：当撤去F₁时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F₁，方向与F₁方向相反。

若物体原来静止，物体一定做与F₁相反方向的匀加速直线运动。

若物体原来做匀速运动，若F₁与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A、B正确。

若F₁与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。正确答案为：A、B、C。

[例2] 如图，一个人站在地面上，用枪瞄准树上的猴子，当子弹从枪口射出时，猴子闻声立即从树上做自由落体运动，讨论一下猴子能否避开子弹的射击？

解析：将子弹的运动分解为沿v₀方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，猴子同时做自由落体运动，则在竖直方向上子弹与猴子保持相对静止；在瞄准方向上，子弹相对猴子以v₀做匀速运动，所以只要子弹瞄准猴子则相对运动不受地面限制，在不计声音传播时间和空气阻力条件下，用大于某一值的速度一定会击中猴子。

点评：从以上两例看出，将曲线运动分解，可正交分解，亦可斜交分解，有多种分解方法，视解题方便而定。

[例3] 一条宽度为的河流，已知船在静水中的速度为，水流速度为.那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若>，怎样渡河位移最小？（3）若<，怎样渡河船漂下的距离最短？

解析：（1）如图甲所示，设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为，渡河所需的时间为

可以看出：、一定时，t随sinθ增大而减小；当θ＝90°时，sinθ＝1（最大）。所以，船头与河岸垂直时渡河时间最短

。

（2）如图乙所示，渡河的最小位移即河的宽度.为了使渡河位移等于，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直.这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ.根据三角函数关系有

因为0≤cosθ≤1，所以只有在>时，船才有可能垂直河岸横渡。

（3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图丙所示，设船头与河岸成θ角.合速度与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短.那么，在什么条件下α角最大呢？以的末端为圆心、大小为半径画圆，当与圆相切时，α角最大，根据cosθ＝/，船头与河岸的夹角应为

船漂下的最短距离为

此时渡河的最短位移：。

[例4] 如图甲，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（）

A. 绳的拉力大于A的重力

B. 绳的拉力等于A的重力

C. 绳的拉力小于A的重力

D. 拉力先大于重力，后变为小于重力

解析：车水平向右的速度（也就是绳子末端的运动速度）为合速度，它的两个分速度v₁、v₂如图乙所示，其中v₂就是拉动绳子的速度，它等于A上升的速度。

由图得，v_A=v₂=v cosθ

小车匀速向右运动过程中，θ逐渐变小，知v_A逐渐变大，故A做加速运动，由A的受力及牛顿第二定律知绳的拉力大于A的重力，故选A。

[例5] 如图所示，当放在墙角的均匀直杆A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面上，当滑到图示位置时，B点速度为v，则A点速度是 .（α为已知）

解析： A点速度沿墙竖直向下v_A.根据速度投影定理：

[例6] 如图甲所示，为一物体平抛运动的x-y图象，物体从O点抛出，x、y分别为其水平和竖直位移。在物体运动过程中的任一点P（x、y），其速度的反向延长线交于x轴的A点（A点未画出），则OA的长为（）

A. x B. 0.5x C. 0.3x D. 不能确定

解析： 作出图示如图乙，设v与竖直方向的夹角为α，根据几何关系：

①

由平抛运动，得

水平方向：x=v₀t ②

竖直方向： ③

由①、②、③得

在Rt△AEP中，

所以。

答案： B

点评： 从解答本题中发现：① 平抛运动中以抛出点O为坐标原点的坐标系中任一点P（x、y）的速度方向与竖直方向的夹角为α，则。② 其速度的反向延长线交于x轴的处。这两结论可以用于分析其他的平抛、类平抛问题。

[例7] 一固定的斜面倾角为θ，一物体从斜面上的A点平抛并落到斜面上的B点，试证明物体落在B点的速度与斜面的夹角为定值。

解析： 作图，设初速度为v₀，到B点竖直速度为v_y，设合速度与竖直方向的夹角为α。

由几何关系：

又由几何关系：

所以：，即α为定值。

合速度与斜面夹角

因为θ、α为定值，所以β也为定值，即速度方向与斜面的夹角与平抛初速度无关，只与斜面的倾角有关。

点评： 从上一例中可看出在推导过程中，若把这一结论迁移到本题中，马上找到了解答本题的方法。

[例8] 如图所示，倾角为θ的斜面上A点，以水平速度v₀抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B点所用的时间为（）

A. B.

C. D.

解析： 设小球从抛出至落到斜面上的时间为t，在这段时间内水平位移和竖直位移分别为：

如图所示.由几何关系知：

，

所以小球的运动时间。故选B

点评：上面是从常规的分运动方法来研究斜面上的平抛运动，还可以变换一个角度去研究。

如图所示，把初速度v₀、重力加速度g都分解成沿着斜面和垂直斜面的两个分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以v_0y为初速度、g_y为加速度的竖直上抛运动.小球“上、下”一个来回的时间等于它从抛出至落到斜面上的运动时间，于是立即可得

采用这种观点，还很容易算出小球在斜面上抛出后，运动过程中离斜面的最大距离、从抛出到离斜面最大距离的时间、斜面上射程等问题，有兴趣的同学请自行研究。

[例9] 如图所示为一小球作平抛运动的闪光照片的一部分，图中背景方格的边长均为5cm，g=10m/s²，求：

（1）闪光频率；

（2）小球运动的初速度的大小；

（3）小球经过B点时的速度大小。

解析：物体竖直方向做自由落体运动，无论A是不是抛出点，Δs_⊥=aT²均成立（式中Δs_⊥为相邻两闪光点竖直距离之差，T为相邻两闪光点的时间间隔），水平方向有s_∥=v₀T（s_∥即相邻两点的水平间隔）

由和可得，

代人数值得。

故闪光频率

在B点时的竖直分速度为：，

过B点时水平分速度为：，

故小球经过B点时的速度大小为：

点评：照片考题是最新高考中出现的题型，要引起足够重视；该题不是直接考查平抛运动的知识，而是通过观察、分析给定的平抛运动照片上一些点的情况，从中寻找解题的方法；首先，要知道A点不一定是平抛的初始位置，还要能从图中A、B、C两两相邻所夹的格数相等，得出从A→B、B→C用的时间都相同，从而知道在竖直方向上可以用Δs=aT²列式求解.该题考查了知识迁移能力、分析问题应用知识解决问题能力，没有较强的析图能力和灵活应用匀变速直线规律的能力，本题难以解决。

[例10] 如图所示，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度v₀水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求：

（1）小球从A运动到B处所需的时间、落到B点的速度及A、B间的距离。

（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？这个最大距离是多少？

解析：（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从A运动到B处所需的时间为t，则：

水平位移为x=v₀t

竖直位移为y=

由数学关系得到：

即小球从A运动到B处所需的时间为：

小球落到B点的速度为：v==v₀

A、B间的距离为：s==

（2）从抛出开始计时，设经过t₁时间小球离斜面的距离达到最大，当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大，最大距离为H.

因 v_y₁=gt₁=v₀tanθ，

所以

x=v₀t= y== 又 +y=xtanθ

解得最大距离为：H=

点评：本题中要抓住题目的隐含条件，小球瞬时速度v与斜面平行时小球离斜面最远，再应用运动的合成与分解求解，本题还可以把运动分解成平行于斜面方向的匀加速运动和垂直于斜面方向的类似竖直上抛运动求解。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩.在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以（SI）（SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度）规律变化，则物体做（）

A. 速度大小不变的曲线运动。

B. 速度大小增加的曲线运动。

C. 加速度大小方向均不变的曲线运动。

D. 加速度大小方向均变化的曲线运动。

2. 关于运动的合成与分解，下列说法正确的是（）

A. 两个直线运动的合运动一定是直线运动；

B. 两个互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动；

C. 两个匀加速运动的合运动可能是曲线运动；

D. 两个初速为零的匀加速直线运动互成角度，合运动一定是匀加速直线运动；

3. 如图所示，一直河流的水速为，一小船在静水中的划速速率为，若这船在该河流中航行，要船从一岸到另一岸路程ｓ最短，河宽用d表示，则有（　　）

A. 时，ｓ＝ｄ

B. 时，ｓ＝ｄ

C. 时，ｓ＝ｄ

D. 时，ｓ＝ｄ

4. 一个质点受两个互成锐角的力F₁和F₂作用，由静止开始运动，若运动中保持二力方向不变，但F₁突然增大到F₁＋F，则质点此后（　　）

A. 一定做匀变速曲线运动

B. 在相等的时间内速度的变化一定相等

C. 可能做匀速直线运动

D. 可能做变加速曲线运动

5. 如图所示，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是（　　）

A. 加速拉 B. 减速拉　　

C. 匀速拉　　　 D. 先加速后减速

6.（08全国卷Ⅰ）如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足（）

A. tanφ=sinθ　　　　　B. tanφ=cosθ

C. tanφ=tanθ　　　　 D. tanφ=2tanθ

7.（08江苏卷）如图所示，粗糙的斜面与光滑的水平面相连接，滑块沿水平面以速度运动.设滑块运动到A点的时刻为t=0，距A点的水平距离为x，水平速度为。由于不同，从A点到B点的几种可能的运动图象如下列选项所示，其中表示摩擦力做功最大的是（）

8. 物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图所示，再把物块放到P点自由滑下则（）

A. 物块将仍落在Q点

B. 物块将会落在Q点的左边

C. 物块将会落在Q点的右边

D. 物块有可能落不到地面上

9. （06上海）如图所示，一足够长的固定斜面与水平面的夹角为37⁰，物体A以初速度V₁从斜面顶端水平抛出，物体B在斜面上距顶端L＝15m处同时以速度V₂沿斜面向下匀速运动，经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是（sin37^O＝0.6，cos37⁰＝0.8，g＝10 m/s²）（）

A. V₁＝16 m/s，V₂＝15 m/s，t＝3s。　

B. V₁＝16 m/s，V₂＝16 m/s，t＝2s。

C. V₁＝20 m/s，V₂＝20 m/s，t＝3s. 。　

D. V₁＝20m/s，V₂＝16 m/s，t＝2s。

10. 如图所示，一高度为h=0.2m的水平面在A点处与一倾角为θ=30⁰的斜面连接，一小球以v₀=5m/s的速度在平面上向右运动，求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s²）某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则

由此可求出落地时间t

问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。

11. 两质点在空间同一点处，同时水平抛出，速度分别是v₁=3.0m/s向左和v₂=4.0m/s向右.g取10米/秒²，求：

（1）则两个质点速度相互垂直时它们之间的距离。

（2）当两质点位移相互垂直时，它们之间的距离。

12. 如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度。

13. 排球场总长18m，网高2.25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3m线正上方被我方运动员后排强攻击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。（g取10m/s²）

（1）若击球的高度h＝2.5m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？

（2）若运动员仍从3m线处起跳，起跳高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界，试求h满足的条件。

【试题答案】

1. BC 2. BCD 3. AC 4. AB 5. B 6. D 7. D 8. A

9. C

解析：由平抛运动规律可知，tanθ＝，将θ=37°代入解得： 3v₁=20t，故只有C选项满足条件。

10. 解析： 小球有水平的初速度，因而作平抛运动，要用平抛运动的规律求解。所以不同意上述做法；

落地点与A点的水平距离

s=v₀t==1m

斜面底宽 L=hctgθ=0.2=0.35m

小球离开A点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间

所以 t==0.2s

点评：本例题反映了平抛运动中各个物理量之间的关系.具有典型性。不能用v_t=v+gt求t，不能用v_t²=v₀²+2as求s；这是因为这些公式是匀变速直线运动的公式。平抛运动是曲线运动，所以不能用。要把它分解成水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动求解，再应用合运动与分运动物理量间的关系求出要求的物理量。