课程解读

一、学习目标：

1. 知道自由落体运动和竖直上抛运动的定义，认识它们的运动特点。

2. 知道重力加速度的概念，知道它的通常取值。

3. 掌握自由落体运动和竖直上抛运动的规律，会运用运动学公式解答相关问题。

二、重点、难点：

重点：

1. 自由落体运动和竖直上抛运动的特征

2. 自由落体运动的速度和位移随时间变化的规律

难点：求解有关自由落体运动和竖直上抛运动的规律应用

三、考点分析：

自由落体运动是一种非常重要的运动形式，在现实生活中有许多落体运动可以看成是自由落体运动，自由落体运动是研究其他抛体运动的基础，研究自由落体运动有着普遍的意义，一定要抓住其产生的条件和运动规律。

内容和要求	考点细目	出题方式
自由落体运动，竖直上抛运动	定义，条件，性质	选择题
自由落体加速度	大小：通常取g＝9.8m/s^2，有时g＝10m/s^2。 方向：竖直向下	选择题，计算题
	特点：（1）随纬度的增加而增大。 （2）随高度的增加而减小。
自由落体运动，竖直上抛运动的规律及应用	两种运动的性质、运动规律 和做题技巧及方法	选择题，计算题

知识梳理

一、关于落体的两种观点

	观点	研究方法
亚里士多德	重物比轻物下落得快	观察＋经验
伽利略	重物和轻物同时落地	实验＋数学

二、自由落体运动的规律

1. 自由落体运动是一个理想模型，是指物体只在重力作用下从静止开始下落的运动

2. 重力加速度

在地球上的不同地点，g的值略有不同

在通常的计算中，取g＝9.8 m/s²

粗略计算时，可取g＝10 m/s²

地球表面同一点g相同，g随着高度的增加而减小

从赤道到两极g逐渐变大

3. 竖直上抛运动的特点：竖直上抛运动是只受重力作用，初速度方向竖直向上的运动。竖直上抛的整个运动可看成是一个匀变速直线运动；还可以将它看成上升阶段是加速度为g的匀减速直线运动，下降阶段则是自由落体运动。

（1）公式（竖直向上即v₀方向为正）

（2）物体上升的最大高度。

（3）上升阶段与下降阶段（回到抛出点的过程）具有对称性。

a. 在上升阶段所用的时间和下降回到抛出点所用的时间相等，且可得

b. 质点经过抛出点以上的每一点时，无论是上升还是下降，它们的速度大小是相等的，方向相反。

c. 从A→B与从B→A所需时间相等

d. 当运动时间t>t₂即时，物体在抛出点之下，位移为负值。

典型例题

知识点一：自由落体运动基本概念的应用

例1：甲物体的重力比乙物体的重力大5倍，甲从H m高处自由落下，乙从2H m高处同时自由落下。以下几种说法中正确的是（ ）

A. 两物体下落过程中，同一时刻甲的速率比乙大

B. 下落l s末，它们的速度相等

C. 各自下落l m它们的速度相等

D. 下落过程中甲的加速度比乙大

正确选项：B、C

解题思路：准确理解自由落体运动的特点即自由落体运动是加速度，初速度均相同的匀加速直线运动

解答过程：物体在下落过程中，因是自由下落，只受重力影响，加速度都为g，与质量无关，D选项错误。又由v＝gt，知A选项错B选项正确。又由公式v₂＝2gh可知C选项正确，故答案应选B、C。

解题后的思考：本题最易出现的错误是误认为质量大的物体加速度大，而质量小的物体加速度小，以致错选A、D两个答案。其主要原因是没有弄清楚“自由下落”即为物体做自由落体运动。

例2：对于自由落体运动，1秒钟下落的高度是9.8m吗？相邻两秒钟内的位移之差是9.8m吗？

解题思路：此题考查对自由落体运动规律的认识和掌握情况。自由落体运动是初速为零的匀加速直线运动，并一定要对重力加速度的概念认识清楚。

解答过程：自由落体运动第1秒钟内的位移，根据公式m。

任意相邻两秒钟内的位移之差＝9.8m。

解题后的思考：

对于自由落体运动，一方面要搞清运动性质，另一方面，由它的运动性质所推出的一些结论性的内容作为经验也应该记下来。例如上面论述的问题。

知识点二：自由落体运动规律的应用

解决运动学问题，一般过程是：

1. 画出物体运动轨迹的草图（在图中标出已知量和待求量）

2. 确定运动过程中的运动性质

3. 根据运动性质选用公式或画出 图象，找出已知量和待求量之间的关系，求解。

4. 对解进行讨论

例1：一物体做自由落体运动，从开始运动起，分别通过连续三段位移的时间之比是1：2：3，则这三段位移之比是：（ ）

A. 1：2：3 B. 1：2²：3² C. 1：3：5 D. 1：2³：3³

正确选项：D

解题思路：

要搞清时间段，相应的时间对应相应的位移，此题可以用比例的方法，也可以用基本的分析方法。无论是用什么方法必须对自由落体运动的性质有清楚的认识，熟悉自由落体运动的基本公式。

解答过程：设三段时间对应的位移分别是

解题后的思考：对于自由落体运动，无论出什么样的题，只要对运动规律有清楚的认识，熟悉基本公式，根据题目在头脑中建立的情景、用轨迹的草图展现出来，在此基础上进行分析，就不难解决。

例2：从离地面500 m的空中自由落下一个小球，取g＝10m/s²，求小球：

（1）经过多长时间落到地面？

（2）自开始下落计时，在第1 s内的位移、最后l s内的位移。

（3）下落时间为总时间的一半时的位移。

解题思路：由h＝500m和自由落体运动的加速度，根据位移公式可直接算出落地时间，根据运动时间，可算出第1s内的位移和落下一半时间的位移。最后1 s内的位移是下落总位移和前（n － l）s下落位移之差。

解答过程：（1）由，得落地时间

s

（2）第l s内的位移：

m

因为从开始运动起的前9 s内的位移为

m

所以最后1 s内的位移为

m

（3）落下一半时间即t＝5s，其位移为

m

解题后的思考：熟练掌握自由落体运动的基本规律

例3：从某一高塔自由落下一石子，落地前最后一秒下落的高度为塔高的7/16，求塔高。

答案：塔高为80米

解题思路：石子的下落可以近似看作自由落体运动，因此可以用自由落体运动的规律来求解本题。

解答过程：

解法一：

画出石子的运动草图。设石子下落的总时间为t，塔高为H，则石子下落距离为塔高的9/16时经过时间（t－1），根据自由落体运动的位移公式： H＝gt² …… ①

……②

解①、②两式得：t＝4s H＝80m

解法二：

设石子落地前最后一秒的初速度为V，则落地瞬间的速度为V＋g

根据推论：V_t²－V₀²＝2as 有：

（V＋g）²－V²＝2g×H ……①

（V＋g）²＝2gH …… ②

解①、②得：V＝30m/s，H＝80m

解法三：

画出物体做自由落体运动的图象，如图所示。

三角形OMN的面积表示石子在前t－1秒内下落的高度。大三角形的面积表示塔高。根据面积比等于相似比的平方，应有：

得：t＝4s

再根据H＝gt² 得：H＝80m。

解题后的思考：比较以上三种解法，解法一利用了自由落体运动初速度为零的特点，比较简明，图象法也比较直观。

知识点三：竖直上抛运动的规律及应用

例1：在离地高20m处将一小球以速度v₀竖直上抛，不计空气阻力，取g＝10m/s²，当它到达上升最大位移的3/4 时，速度为10m/s，则小球抛出后5s内的位移及5s末的速度分别为（ ）

A. －25m，－30m/s B. －20m，－30m/s

C. －20m，0 D. 0，－20m/s

正确选项：C

解题过程：设初速度方向为正，，，解得。抛出的物体在空中运动的时间设为，则有：，解得，5s后小球在地面静止，C正确。

解题后的思考：注意矢量方程中代入数值的正负。

例2：气球以10m/s的速度匀速竖直上升，从气球上掉下一个物体，经17s到达地面。求物体刚脱离气球时气球的高度。（g＝10m/s²）

解题过程：可将物体的运动过程视为匀变速直线运动。规定向下的方向为正，则物体的初速度为V₀＝－10m/s，g＝10m/s²

则据h＝，有：

∴物体刚掉下时离地1275m，即气球的高度。

答案：1275m.

解题后的思考：有两种常见方法：（1）全程要用匀变速直线运动规律。注意速度、加速度、位移的方向，必须先规定正方向；（2）分阶段要用匀变速直线运动规律并同时注意上升和下降过程的速率、时间的“对称性”。

例3：原地起跳时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地。从开始蹬地到离地是加速过程（视为匀加速），加速过程中重心上升的距离称为“加速距离”。离地后重心继续上升，在此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”。现有以下数据：人原地上跳的“加速距离”，“竖直高度”；跳蚤原地上跳的“加速距离”，“竖直高度”。假想人具有与跳蚤相等的起跳加速度，而“加速距离”仍为，则人上跳的“竖直高度”是多少？

解题过程：用表示跳蚤起跳的加速度，表示跳蚤离地时的速度，则对加速过程和离地后上升过程分别有

若假想人具有和跳蚤相同的加速度，令表示在这种假想下人离地时的速度，表示与此相应的竖直高度，则对加速过程和离地后上升过程分别有

由以上各式可得 代入数值，得

答案：62.5m

解题后的思考：考点：竖直上抛运动。认识、了解人跳离地面的全过程的运动本质是解决此类问题的关键。

提分技巧

本节的易错点是判断空间下落的物体的运动是不是自由落体运动。在判断时，如题目直接给出物体由静止开始自由下落或忽略空气阻力等提示语时，可将下落的物体看成做自由落体运动。对于有空气阻力的问题，若空气阻力远远小于重力，可近似看作自由落体运动。若只是空气阻力很小，则不能认为物体就一定做自由落体运动。

本节易错之处还有做题时易忽略自由落体运动的第一个特点（v₀＝0），从而将上述运动当作自由落体运动解决，得出错误的结论。

预习导学

一、预习新知

匀变速直线运动的规律和应用技巧

二、预习点拨

1. 匀变速直线运动有哪些公式？

2. 第二章中有哪些解题方法和技巧？

同步练习

（答题时间：35分钟）

1、在忽略空气阻力的情况下，让一轻一重的两石块从同一高度同时自由下落，则关于两石块的运动，下列说法正确的是（ ）

A. 重的石块下落得快，先着地

B. 轻的石块下落得快，先着地

C. 在着地前的任一时刻，两石块具有相同的速度，相同的位移和相同的加速度

D. 两石块在下落的时间内的平均速度相等

2、一个物体做自由落体运动，其速度—时间图象正确的是（ ）

3、甲乙两球从同一高度相隔1秒先后自由落下，在下落过程中（ ）

A. 两球的距离始终不变

B. 两球的距离越来越大

C. 两球的速度差始终不变

D. 两球的速度差越来越大

4、自由下落的物体，在任何相邻的单位时间内下落的距离之差和平均速度之差在数值上分别等于（ ）

A. g/2 2g B. g/2 g/4 C. g g D. g 2g

5、有一直升机停在200m高的空中静止不动，一乘客从窗口由静止每隔1秒释放一个钢球，则关于钢球在空中的排列情况，下列说法正确的是（ ）

A. 相邻钢球间距离相等

B. 越靠近地面，相邻钢球的距离越大

C. 在落地前，早释放的钢球的速度总是比晚释放的钢球的速度大

D. 早释放的钢球落地时的速度大

6、一个自由落体落至地面前最后一秒钟内通过的路程是全程的一半，求它落到地面所需的时间。

7、为了测出井口到水面的距离，让一个小石块从井口自由落下，经过2.5s后听到石块击水的声音，估算井口到水面的距离。考虑到声音在空气中传播需用一定的时间，估算结果偏大还是偏小？

8、一个自由下落的物体，它在最后1秒的位移是35m，则物体落地的速度是多大？下落时间是多少？

9、一只小球自屋檐自由下落，在0.25s时间内通过高度为2m的窗口，求窗口的顶端距屋檐多高？

10、一矿井深为125m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球刚好到达井底。则相邻两个小球开始下落的时间间隔为多少？第3个小球和第5个小球相隔多少米？

试题答案

1、CD 提示：因为忽略空气阻力，所以两石块的运动是自由落体运动，又因为同时从同一高度下落，所以运动情况完全一样，则CD正确

2、C 提示：自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动。A表示物体做初速度不为零的减速运动，A错；B表示物体做匀速直线运动，B错；C表示物体做初速度为零的匀加速直线运动，只不过是以向上为正方向，C正确；D做的是初速度不为零的匀加速直线运动，D错。

3、BC 提示：既然两球做的都是自由落体运动。因为甲球比乙球早出发1秒，从乙开始下落时计时，任一时刻有：；；有，g是一个定值，所以C正确D错；在位移上有：，，

4、C 提示：连续相等时间的位移之差是；根据平均速度公式，

5、BC 提示：题中每个钢球的运动情况是完全一样的：同高度且都做自由落体运动。唯一不同的是释放时间不一样，同一时刻的速度不一样，但落地时的速度都是一样的。根据第3题的结论可知相邻两球的距离是越来越大的，AD错；C正确；由公式，，可知时间间隔越长，两球的距离越大，所以越靠近地面，两球距离越大，B正确。见下图

6、 提示：选择过程时尽量选择包含0速度点在内的过程，这样运用公式时会方便很多，根据题意，设前一半位移用时t，整个过程用时t＋1，两段时间位移之比为1：2。， ，则总时间为

7、31m 偏大 提示：，如果考虑声音的传播时间，则说明真实的时间比这个时间要小，我们计算时代入的2.5偏大了，所以算得的高度也偏大。

8、40m/s 4s 提示：根据，从静止开始到35m/s用时3.5s，再加上最后的0.5s，共用时4s。落地速度

9、2.28m 提示：根据，说明该时刻距下落时刻为，则窗口顶端到屋檐的时间间隔为0.8－0.125＝0.675s。则高度为

10、0.5s 35m 提示：由第5题图知，所有小球在空中的排列与一个小球做自由落体运动每隔一段时间留下的轨迹相同。第一个到底，第11个刚开始，说明它们之间共有10个时间间隔，从井口到井底深125m需时，说明每个时间间隔为0.5s；第3个球下落时间为0.5×8＝4s；第5个球下落时间为0.5×6＝3s，则位移之差为。