【本讲教育信息】
一. 教学内容：
相似三角形和三角形相似的条件
1. 了解相似三角形、相似比的含义．
2. 掌握两个三角形相似的判断条件，并能够运用三角形相似的判断方法解决一些简单的问题．
二. 知识要点：
1. 相似三角形
（1）相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
（2）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比．
（3）表示方法：用符号“∽”来表示相似，读作“相似于”．如图所示，△ABC和△A’B’C’相似，记作“△ABC∽△A’B’C’”，读作“△ABC相似于△A’B’C’”．
说明：
（1）这个定义告诉我们：①如果两个三角形的角对应相等、边对应成比例，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等、对应边成比例．
（2）相似比是有顺序的．例如：若△ABC∽△A’B’C’，相似比为k，则△A’B’C’∽△ABC，那么相似比为．
2. 三角形相似的条件
（1）如果两个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
例如：如图所示，若∠A＝∠A’，∠B＝∠B’，则△ABC∽△A’B’C’；
若∠A＝∠A’，∠C＝∠C’，则△ABC∽△A’B’C’；
若∠C＝∠C’，∠B＝∠B’，则△ABC∽△A’B’C’．
说明：只要有两对角对应相等，这两个三角形就相似．“对应”不一定非得是“A对A’，B对B’，C对C’”．
（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
例如：如上图所示，若＝，∠B＝∠B’，则△ABC∽△A’B’C’；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
三. 重点难点：
本讲重点是相似三角形的定义和三角形相似的条件，难点是应用三角形相似的三个条件解决一些问题．
评析：（1）①求相似比时要注意顺序，哪个三角形在前，它的对应边就作为比的前项．②相似比实际上反映的是一个图形的放大或缩小，相似比大于1，说明图形被放大；相似比小于1，说明图形被缩小；相似比等于1，说明两个图形全等．③若△ABC与△A'B'C'的相似比为k，则△A'B'C'与△ABC的相似比为．（2）找两个相似三角形的对应边、对应角的方法有两种：①如果给出相似表达式，就先找对应顶点，再找对应边、对应角．②如果已知对应角，那么对应角所对的边就是对应边；如果已知对应边，那么对应边所对的角就是对应角．找两个相似三角形的对应边还有一个原则：大边对大边，小边对小边．
例3. 如图所示，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似的三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
分析：由AD∥BG，可得∠DAE＝∠G，∠ADB＝∠DBG，可推出△AED∽△GEB，同理可推出△AFD∽△GFC；由AB∥DC可得到△AEB∽△FED和△ABG∽△FCG，由相似图形的传递性，知△GAB∽△AFD，又△ABD∽△CDB，∴图中共有6对相似三角形，故正确答案为D．
解：D
评析：充分利用题目中的条件，如平行、垂直等推出相等的角，如公共角，对顶角等．
例4. 如图所示，BC平分∠ABD，AB＝4，BD＝5，当BC＝__________时，△ABC∽△CBD．
分析：有一个角为36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，故∠CBD＝36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．
解：（1）因为∠A＝36°，AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝72°．
又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD＝36°．
所以AD＝BD＝BC，所以△ABC∽△BCD．
例6. 为了测量校园内一棵不可攀登的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：
如图所示，把镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7米，观察者目高CD＝1.6米，请你计算出树的高度．（精确到0.1米）
【方法总结】
1. 三角形相似的条件有三个：①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．
2. 相似三角形判定方法的作用：①可以用来判定两三角形相似；②间接说明角相等，线段成比例；③间接为计算线段长度及角的大小创造条件．
3. 有关三角形相似的基本图形：①如图1所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC；②如图2所示，若∠ADE＝∠B，则△ADE∽△ABC；③如图3所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
【预习导学案】
（相似三角形和相似多边形的性质）
一. 预习前知
1. 相似三角形的对应边__________，对应角__________．
2. 已知△ABC∽△A’B’C’，AB＝3，BC＝4，A’B’＝5，∠A＝80°，∠B＝30°，求B’C’的长与∠C’的度数．
3. 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，点D是AC的中点．找出图中的相似三角形（不包括全等三角形），并求出其相似比．
二. 预习导学
1. 已知△ABC∽△A’B’C’，C△ABC＝12，＝2，求C△A’B’C’．
2. 已知△ABC∽△A’B’C’，S△ABC＝12，＝2，求S△A’B’C’．
3. 如图所示的两个四边形相似，找出图中的对应角、对应边、并用比例式表示．
4. 两个相似多边形的相似比为2∶3，则它们周长的比为__________，面积的比为__________．
反思：（1）相似三角形有什么性质？
（2）相似多边形有什么性质？
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一. 选择题
1. 已知△ABC∽△A'B'C'，如果∠A＝75°，∠B＝25°，则∠C'的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
2. 下列说法中正确的个数是（ ）
①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的等边三角形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. △ABC∽△A'B'C'，且相似比为，△A'B'C'∽△A''B''C''，且相似比为，则△ABC与△A''B''C''的相似比为（ ）
4. 具备下列各组条件的△ABC和△A'B'C'，不能判定它们相似的是（ ）
A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B' B．∠A＝∠A'，∠B＝∠C'
C．∠A＝∠B'，∠B＝∠C' D．∠A＝∠A'，∠B＝∠A'
5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
*6. 已知，如图所示，D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且△AED∽△ABC，∠A＝35°，∠C＝85°，则下列结论错误的是（ ）
7. 下列4个三角形中，与右边三角形相似的是（ ）
**8. 如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
二. 填空题
1. 若两个三角形的相似比是1，则这两个三角形__________．
2. 已知△ABC∽△DEF，则∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________，＝__________＝__________．
3. △ABC的各边之比为2∶5∶6，与其相似的另一个△A'B'C'的最大边长为18cm，那么△A'B'C'的最小边长为__________．
4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1、DE＝2、BD＝3，则BC＝__________．
5. 如图所示，△ABC∽△DBE，且AD＝AB，则△ABC与△DBE的相似比为__________．
6. 如图所示，（1）若＝__________，则△AEF∽△ABC，理由是__________；（2）若__________∥__________，则△AEF∽△ABC．
*7. 如图所示，AC、BD相交于O，若给出__________＝__________，则可以使△AOB∽△DOC，若给出DC2＝DO·DB，则可以使__________∽__________．
**8. 如图所示，△ABC中，点D、E分别在AC、AB边上，要使△ABD∽△ACE，已具备的条件是__________，还需要添加的条件是__________或__________或__________．
三. 解答题
1. 依据下列各组条件判定△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由．
（1）∠A＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm，∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm；
（2）∠B＝80°，AB＝1.5cm，BC＝2cm，∠B’＝80°，A’B’＝2.8cm，B’C’＝2.1cm．
2. 如图所示，若∠A＝∠C，那么△OAB与△OCD相似吗？OA·OD＝OB·OC吗？为什么．
3. 如图所示，已知△ADE∽△ABC，△DBF∽△ABC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求BF的长．
*4. 请你制作两个三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，如何选料可使这两个三角形相似？
**5. 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠1＝∠2，∠3＝∠4，指出图中有哪些相似三角形，并说明理由．如图所示．
，△CDO 8. ∠A＝∠A，