【本讲教育信息】

一. 教学内容：

电势差

［基础知识］

1. 电势差与电场力做功

（1）电势差：电场中两点间的电势之差，U_AB＝U_A－U_B，单位：伏（V），1V＝1J/C。

（2）电势差与电场力做功的关系；在电场中A、B两点间移动电荷q的过程中，电场力做的功W等于电荷量q和这两点间的电势差U_AB的乘积，即W＝qU_AB。

2. 在匀强电场中电势差与电场强度的关系

在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于场强与这两点的距离的乘积，即：U＝Ed。

在匀强电场中，电场强度等于沿场强方向单位距离上的电势差，即。

3. 示波管的工作原理

（1）构造及功能（如下图）：

①电子枪：发射并加速电子。

②竖直偏转电极YY'：使电子束竖直偏转（加信号电压）。

水平偏转电极XX'：使电子束水平偏转（加扫描电压）。

③荧光屏。

（2）原理：①YY'作用：被电子枪加速的电子在YY'电场中做匀变速曲线运动，出电场后做匀速直线运动打到荧光屏上，YY'间的电压随信号电压同步调变化，但由于视觉暂留及荧光物质的残光特性看到一条竖直亮线。如何使这一竖直亮线转化成正弦图形呢？（加扫描电压）

②XX'作用：与上同理，如果只在偏转电极XX'上加电压，亮斑就在水平方向发生偏转，加上扫描电压，一周期内，信号电压也变化一周期，荧光屏将出现一完整的正弦图形。

［方法点拨］

1. 利用公式W＝qU解题应注意的问题

（1）公式W＝qU适用于任何电场。

（2）为了避免不必要的混淆，通常应用公式W＝qU计算电场力做功时，q和U都取绝对值，算出功W也是绝对值，不必从公式中寻找符号关系。至于电场力做的是正功还是负功，可根据电荷的正负以及电荷移动方向与电场线的方向关系去判断。

（3）注意电势差的单位是伏（V）。

2. 如何理解公式或U＝Ed中的“d”

设匀强电场中任两点A、B之间的距离为l，AB连线与电场线的夹角为θ，则d应是l在电场线上的投影，即d＝；若AB间的电势差为U，则。如下图所示。

3. 公式的计算只适用于匀强电场，而在有些非匀强电场的定性分析题中也可以运用。

对一些非匀强电场的问题，也可由公式进行定性分析。例如，在图①中，在点电荷Q的电场中有A、B、C三点，，要求比较U_AB与U_BC的大小时，可以利用即U＝Ed定性说明。AB段电场强度比BC段电场强度大，故。另外，在等差等势面的分布图中等势面越密的地方场强就越大，如图②中左右两边与上、下两部分比较就很明显。

图①

图②

［疑难辨析］

1. 电场强度和电势差的关系的理解

（1）因为只有在匀强电场中电场力才是恒力，才有W＝qEd，所以在高中数学基础上，这一关系也仅在匀强电场中才成立。

（2）由推导过程可以看出，W＝qEd中的位移d必须是沿电场力方向的分位移，所以中的d也必须是沿场强方向的距离。

（3）场强是矢量，电势差是标量，这一关系仅能反映两个物理量之间的数量关系。场强的方向也可以从电势的变化角度描述，即场强的方向是电势降落最快的方向。

（4）因为有了这一关系，可以把电势差理解为场强（沿场强方向）对位移的积累，场强为（沿场强方向）单位长度的电势差。

2. 易错易混点

普遍适用，而U＝Ed只适用于匀强电场。

【典型例题】

例1. 在电场中把一个电荷量为的负电荷从A点移到B点，克服电场力做功，再将电荷从B点移到C点，电场力做功，求A与B、B与C、A与C间的电势差。

解析：根据电场力做功和电势差的关系得

所以

答案：5V －2V 3V

例2. 如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定（）

A. B.

C. D.

解析：电场线通常有如下图所示的几种情况。

题中给出的一条电场线，不能确定是哪一种，因此B、C、D均不正确，其中在前三个图中可由U＝Ed定性分析。不论是何种情况的电场，沿着电场线方向电势总是降低的，即，故A正确。

答案：A

例3. 如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，ab＝5cm，bc＝12cm，其中ab沿电场方向，bc和电场方向成60°角，一个电荷量为的正电荷从a移到b电场力做功为，求：

（1）匀强电场的场强？

（2）电荷从b移到c，电场力做功？

（3）a、c两点的电势差？

思维分析：由于电场力做功W＝qU与路径无关，只与初末位置间的电势差有关，故可以根据已知的电功先求电势差，再根据匀强电场中场强与电势差的关系确定场强E，反之亦然。

解析：设ab两点间的距离为d，

①

②

由①②两式得

（2）设bc两点沿场强方向的距离为d₁，

③

④

⑤

由③④⑤式得：

（3）设电荷从a移到c电场力做功为W

⑥

⑦

由⑥⑦得：

答案：（1）E＝60V/m （2）W＝（3）

例4. 下图中A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20cm。把一个电荷量q＝C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为，则该匀强电场的场强大小和方向是（）

A. 865V/m，垂直于AC向左

B. 865V/m，垂直于AC向右

C. 1000V/m，垂直于AB斜向上

D. 1000V/m，垂直于AB斜向下

解析：把电荷q从A移到B电场力不做功，说明A、B两点在同一等势面上。因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故图中直线AB即为等势线，场强方向应垂直于等势面，可见，选项A、B不正确。

，B点电势比C点低173V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB斜向下，场强大小

。选项D正确。

答案：D

例5. 如图所示，匀强电场中的A、B、C三点构成一边长为a的等边三角形，场强方向平行于纸面，具有一定初速度的电子在电场力作用下经B点到A点动能减少了E_k0；质子在电场力作用下经C点到A点动能增加了E_k0，电子和质子的电荷量大小都为e。求该匀强电场的场强E的大小。

解析：因为在电场力作用下具有一定初速度的电子由B点移到A点减小的动能与在电场力作用下质子由C点移到A点增加的动能相等，均为E_k0，说明BA边和CA边在场强方向的距离（设为d）相等，且，所以场强方向应为沿BC的中点指向A，如图所示。由匀强电场中场强与电势差的关系式

以及功能关系有，

解得

答案：

例6. 如图所示的电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各面电势已在图中标出。现有一质量为m的带电小球以速度v₀，方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动。问：（1）小球应带何种电荷？电量是多少？（2）在入射方向上小球最大位移是多少？（电场足够大）

解析：（1）作电场线如图（a）所示，由题意，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图（b）所示，只有当F_合与v₀在一条直线上才可能使小球做直线运动。所以小球带正电，小球沿v₀反方向做匀减速直线运动。由图（b）知qE＝mg。相邻等势面间的电势差用U表示，所以，所以