【本讲教育信息】
一. 教学内容：
1. 从不同方向看几何体．
2. 用平面截几何体．
二. 知识要点：
1. 从不同方向看几何体
对于多数几何体从不同方向去看，往往会看到不同形状的图形．
桌上放着一个茶壶，四位同学从各自的方向进行观察．
下面四幅图分别是哪位同学看到的．
2. 用平面截几何体
（1）类似于用刀切西瓜，可以用一个平面去截几何体，就得到一个平面图形．这个平面图形叫做截面．
（2）用平面截常见几何体得到的平面图形
找一个平面截几何体所得截面的方法是：（1）找出平面和几何体的面相交而成的线；（2）判断这些线围成截面的形状．
三. 重点难点：
重点是学会通过从不同方向观察几何体和用平面截几何体，把立体图形问题转化成平面图形来研究．难点是通过分析几何体的三视图想象原几何体的形状．
【典型例题】
例1. 如图所示是从正面、左面、上面看图中的几何体，分别得到的三个平面图形．请指出，这三个平面图形分别是从哪个方向看这个几何体得到的．
分析：对于多数几何体从不同的方向去看，往往看到不同形状的图形．这个几何体从三个不同的方向看到了三个不同的图形即视图：从正面看到的叫主视图，从左面看到的叫左视图，从上边看到的叫俯视图．
解：（1）是从上面看到的；（2）是从左面看到的；（3）是从正面看到的．
例2. （1）观察图（1）~（3），如果分别从正面、左面、上面看这三个几何体，分别得到什么平面图形？
（2）对于图（1）和（3）这两个几何体，如果只根据从正面看到的图形，你能把它们区分开吗？
（3）对于图（2）和（3）这两个几何体，如果只根据从上面看到的平面图形，你能把它们区分开吗？
分析：几何体（1）是长方体，从三个角度看到的平面图形都是长方形；几何体（2）是圆锥，从正面、左面看到的都是等腰三角形，从上面看到的是一个圆形；几何体（3）是圆柱，从正面和左面看到的平面图形都是长方形，从上面看是一个圆形．
解：（1）三个几何体三视图分别如图所示．
（2）不能区分．因为长方体和圆柱，从正面看，看到的都是长方形．
（3）不能区分．因为圆柱和圆锥从上面看都是一个圆．
评析：从上面的例子可以看出简单的几何体一般要从三个方向（正面、左面、上面）看，才能将几何体认识清楚．
例3 （1）下左图是由若干个小正方形所搭成的几何体及从上面看这个几何体所看到的图形，那么从左边看这个几何体时，所看到的几何图形是（ ）
（2）如图所示的4个立体图形中，从左边看是长方形的有（ ）个
A．0 B．
分析：（1）从左边看，有两列，第一列有三行，第二列有一行，应选B．（2）圆柱体从左边看是长方形，圆锥体从左边看是三角形，半球体从左边看是半圆，长方体从左边看是长方形，因此选C．
解：（1）B（2）C
评析：从不同方向看立体图形，看到的都是它的一个面，是平面图形，被遮去的部分看不到．
例4 （1）用一个平面去截一个正方体、截面分别是什么形状？
（2）用平面去截正方体，能分别截出三角形、三边相等的三角形和梯形吗？
分析：（1）图①中的截面是正方形，其四边分别是正方体的棱长，四个角都是直角；图②中的截面也是正方形；图③中的截面是长方形，其两邻边的长分别是正方体的一个面的边长和对角线长；图④中的截面是长方形．
（2）如果用与相邻的三条棱都相交的平面去截正方体可得三角形，如图①②所示；如用图③所示三个顶点的平面截正方体得到三条边都相等的三角形；如用图④所示的平面去截正方体可得梯形．
解：(1)四个截面的平面分别是正方形、正方形、长方形、长方形．
（2）都能．如图①②截面都是三角形；如图③所得截面是等边三角形；图④的截面是梯形．
例5. 在手工课上，需要将一个四棱柱形的橡皮泥变成两块四棱柱的橡皮泥，你能做到吗？请说出两种以上的方法．如果要把它变成一个四棱柱和一个三棱柱呢？说说你的方法．
分析：四棱柱之所以称为四棱柱是因为它的底面是四边形，因此要把一个四棱柱变成两个四棱柱时不能改变底面的边数，所以可以从中间截．或者在不改变底面边数的情况下，把底面变成两个四边形，所以也可以从上面向下面截，但必须切到底面的一组对边．要把一个四棱柱变成一个四棱柱和一个三棱柱，必须把底面变成一个四边形和一个三角形．所以可以过一个顶点但不过和它相对的另一个顶点向下切．
解：将一个四棱柱形的橡皮泥变成两块四棱柱的橡皮泥，可以从中部水平截开．或过四棱柱底面一组对边（但不过顶点）竖直向下截开．把它变成一个四棱柱和一个三棱柱的做法是：经过一个顶点但不过和它相对的另一个顶点竖直向下截开．
例6. 如下表，已知用平面截圆柱、圆锥、正方体、球、三棱柱和长方体所得截面的形状，请你想象这些形状的截面可能是截哪个（哪些）几何体得到的，并填写下表：
|
截面形状 |
圆 |
正方形 |
长方形 |
三角形 |
|
可能的几何体 |
|
|
|
|
分析：本题与给出几何体想象截面的形状正好是相反的．由截面想象被截几何体较前例有些难度，一定要找全，可结合前面的直观图形多加体会．
解：填表如下：
|
截面形状 |
圆 |
正方形 |
长方形 |
三角形 |
|
可能的 几何体 |
圆锥 圆柱 球 |
正方体 长方体 圆柱 三棱柱 |
正方体 长方体 圆柱 三棱柱 |
正方体 长方体 圆锥 三棱柱 |
【方法总结】
1. 对多数几何体，从不同方向看，往往看到不同形状的图形．简单的几何体一般要从三个方向（正面、左面和上面）看，才能根据看到的平面图形，将这个几何体认识清楚．
2. 用平面截几何体的作用有两个：一个是可以通过截面来认识这个几何体的内部结构，另一个是通过截面可以想象被截几何体的形状．
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一. 选择题
1. 下面简单几何体从正面看是（ ）
2. 如图，这个几何体从正面看是（ ）
3. 一个几何体从三个方向看得到的图形都是正方形，这个几何体一定是（ ）
A. 长方体 B. 正方体 C. 棱锥 D. 六棱柱
4. 一个平面截下面几何体无论怎样截，截面都不可能是长方形的是（ ）
A. 正方体 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱
5. 如图所示的图形是由7个完全相同的小立方体组成的立体图形，这个立体图形从正面看是（ ）
6. 若一个几何体从正面、左面、上面看到的图形分别是三角形、三角形、圆，则这个几何体可能是（ ）
A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 棱锥
*7. 如图所示几何体的截面是（ ）
二. 填空题
*1. 一个物体从三个方向看，得到的图形如下图所示，则该物体是__________．
2. 如图所示，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，指出右边三个平面图形是从哪个方向看到的．
*3. 如果用平面截掉长方体的一个角（不过顶点），剩下的几何体有__________个顶点，__________条棱，__________个面．
4. 如图，水平放置的长方体的底面是边长为2和4的矩形，它的左视图的面积为6，则长方体的体积等于__________．
三. 解答题
*1. 某厨师把一块棱长为
2. 用萝卜削一个正方体，如图所示，过A、B、C三点切一刀，将正方体削去一个角；过A、B、D三点切一刀，又削去一个角；再过B、C、D三点切一刀，又削去一个角；最后过A、C、D三点切去最后一个角．观察这四个截面所围成的是什么几何体？有几个面？各有什么特点？画出这个截面．
**3. 一个物体的外形是正方体，其内部构造不详，用一组水平的平面截这个物体时，得到了一组截面（自下而上），如图所示，请你猜想正方体的内部构造．
**4. 如图，把一个长方体的礼品盒用丝带打上包装，打蝴蝶结部分需丝带
【试题答案】
一. 选择题
1. C 2. A 3. B 4. C 5. C 6. C 7. C
二. 填空题
1. 圆锥（躺着放的圆锥）
2. 左面、上面、正面
3. 10，15，7
4. 24
三. 解答题
1. 提示：可以用体积来解这个问题，（10×10×10）÷（2×2×2）÷25＝5（盘）
2. 四个截面所围成的是一个正四面体；它有四个面，都是等边三角形．截面如图所示：
3. 这个物体内部可能是两个空心的圆锥；也可能是两个空心的半球．
4. 四个侧面需要