课程解读
一、学习目标:
1、知道正数与负数是由于实际需要产生的。
2、会判断一个数是正数还是负数,能用正、负数表示相反意义的量。
3、知道0既不是正数也不是负数,它是正数与负数的分界点。
4、能说出整数与分数的概念,知道整数和分数统称为有理数。对于给出的有理数,会正确地进行分类。
5、体会数学符号与对应的思想,掌握用正、负数表示具有相反意义的量的符号化方法。
二、重点、难点:
重点:知道什么是正数和负数,什么是有理数,理解数0表示的量的意义。
难点:理解负数、数0表示的量的意义。
三、考点分析:
本讲课程涉及两个考点,一是会用正数和负数表示具有相反意义的量,二是理解有理数的意义和分类。第一个考点出现的可能性更大。这两个考点通常以选择题或填空题的形式出现,大约占2分至3分。
知识梳理
1、数的产生和发展:由记数、排序产生数1、2、3、…,由表示“没有”“空位”产生数0,由分物、测量产生分数、、…。
2、如图所示:
像10、8844、2303这样大于0的数叫做正数,像-10、-155、-11034这样在正数前面加上“-”(负)号的数叫做负数。有时在正数前面也加上“+”(正)号,一个数前面的“+”“-”叫做它的符号。
3、数0既不是正数,也不是负数。
4、正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
5、有理数的分类:
典型例题
知识点一:正、负数的意义
例1:如果规定前进、收入为正,亏损、公元前为负,那么下列语句错误的是( )
A. 前进-
B. 收入-4万元的意义是亏损4万元
C. 盈利的相反意义是亏损
D. 公元-300年的意义是公元后300年
思路分析:
1)题意分析:本题涉及到的知识点是相反意义的量,而相反意义的量是成对出现的。
2)解题思路:正、负数仅是为了用来区分具有相反意义的量,哪种意义为正或负,是可以任意选择的。
解答过程:选项A,规定前进为正,则后退为负,前进-
解题后的思考:只有一对具有相反意义的量才能用正数、负数来表示,此时,把其中一种意义的量规定为正,用正数表示,则与它意义相反的量为负,用负数表示。
例2:在下面四组数:①-3,2.3,;②,0,2;③,0.3,7;④,,2中,三个数都不是负数的一组是( )
A.
①② B.
②④ C.
③④ D.
②③④
思路分析:
1)题意分析:对“不是负数”要有一个正确的理解,“不是负数”表示“是正数或
2)解题思路:判断正、负数的关键是看它是否大于0,大于0的数是正数,正数前面添上“-”号是负数。
解答过程:在所给四组数中,②③④三组中的数都是“正数或0”,都不是负数,故选D。也可用排除法,“都不是负数”表示不能有负数,所以排除①。
解题后的思考:本题主要考查对数的分类,一定要注意:0既不是正数也不是负数。不是负数意味着是正数或0,本题易错选C,漏掉只包含正数和0(都不是负数)的第②组。
例3:在一次数学测验中,小明得了75分,记为+15分,张强和王东分别得了90分和55分,他们的成绩应怎样记呢?
思路分析:
1)题意分析:小明得了75分,记为+15分,说明他超出了标准15分,可知当考到60分时,记为0,超过60分的记为正,不足60分的记为负。
2)解题思路:张强得了90分,与60分相比,超出30分,记为+30分;王东的成绩是55分,与60分相比,少了5分,记为-5分。
解答过程:张强的成绩记为+30分;王东的成绩记为-5分。
解题后的思考:在用正、负数表示具有相反意义的量时,通常规定某一数值为标准,超出(或不足)一方记为正时,则不足(或超出)的一方记为负,主要是看它们与标准的差距是多少。
小结:本题组主要考查正、负数的意义,学习时应注意以下几点:
1、一个数前面的“+”、“-”可以看作是它的性质符号,“+”号通常省略,“-”号不能省略。
2、思维误区:①只有带“+”号的数是正数,②凡不带“-”号的数都是正数。
3、在利用正、负数解决实际问题时,要充分考虑数的实际意义,合理运用各种表达方式,如图示法可直观表达各数在具体问题中的意义。
知识点二:有理数的分类
例4:下列说法中正确的是( )
A. 有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数
B. 一个有理数不是正数就是负数
C. 一个有理数不是整数就是分数
D. 以上说法都正确
思路分析:
1)题意分析:本题考查有理数的意义及分类方法。
2)解题思路:有理数的分类可按整数、分数分类(二分法),也可按正有理数、零、负有理数分类(三分法)。
解答过程:在选项A中,把两种分类结果放在一起,分类重复,不正确;一个有理数可能是正数,可能是负数,也可能是0,所以选项B错误;有理数分为整数和分数,0包括在整数中,所以选项C正确。
解题后的思考:(1)有理数的分类标准必须一致,即要么按二分法,分成整数和分数,要么按三分法,分成正有理数、零、负有理数,二者不能混为一谈;(2)无论按哪一种分类标准分类,都必须做到分类结果不重不漏,即任意一个有理数都一定属于某一类,并且只属于这一类。
例5:将下列各数填在相应的数的集合里。
-3,0,-2,7,-3.14,+8 848,-15%。
正整数集合{
…};
负整数集合{
…};
负数集合{
…};
负分数集合{
…};
非负数集合{
…};
自然数集合{
…}。
思路分析:
1)题意分析:把一些数放在一起,就组成一个数的集合,数的集合可以用椭圆形的圈表示,也可以用大括号表示,用这两种方法表示数时,若这个数集中有无数多个数时,要加“…”号。
2)解题思路:本题中的“非负数”是指正数和零;自然数是指正整数和零。
解答过程:
正整数集合{7,+8 848…};
负整数集合{-2…};
负数集合{-3,-2,-3.14,-15%…};
负分数集合{-3,-3.14,-15%…};
非负数集合{0,7,+8 848…};
自然数集合{0,7,+8 848…};
解题后的思考:(1)易将正整数集合和自然数集合混淆,0是自然数,0既不是正数也不是负数;(2)“非负数”指不是负数的意思,即正数和0;很多同学容易忽略掉0。
例6:下面两个圈分别表示负数集合和整数集合,请按要求设计方案:
(1)请在每个圈内填入5个数,其中有3个既是负数又是整数,这3个数应填在哪里?
(2)你能说出这两个圈的重叠部分表示什么数的集合吗?
思路分析:
1)题意分析:本题是一道方案设计型的题目,主要考查有理数的分类。
2)解题思路:负数分为负整数、负分数,整数分为正整数、零、负整数。既是负数又是整数的数是负整数。所以这两个集合的重叠部分表示的是负整数。
解答过程:(1)这两个集合的重叠部分既是负数又是整数,如下图所示:
(2)这两个圈的重叠部分表示负整数集合。
解题后的思考:本题设计新颖,且具有一定的开放性,填写方案不唯一。弄清楚两个圈的重叠部分表示什么数是解决本题的关键。
小结:有理数与小学学过的数的区别:
(1)整数和分数:在小学数学中整数仅包括自然数,分数也只有正分数。学习了有理数后,引进了负数,整数不只是正整数和零了,还有负整数,分数也有正分数和负分数之分。(2)奇数和偶数:奇数和偶数的范围扩大了,奇数包括正奇数和负奇数,偶数也包括正偶数、负偶数和零三部分。(3)数“0”的意义发生了变化:学习有理数后,“0”就不仅只表示“没有”了,也不再表示最小的数了,“0”既不是正数,也不是负数,而是介于正数和负数之间的中性数。
提分技巧
1、熟练掌握有理数的分类方法是解决有理数问题的关键,运用时要注意以下两点:(1)不重复,即同一事物不能归纳到两个类别中;(2)不遗漏,即某一事物不能在类别中找不到。如把有理数误分成正有理数和负有理数,这种方法会把有理数中的零给漏掉。
2、几个关于有理数的数学用语:我们通常把正整数和零统称为非负整数,也叫自然数;负整数和零统称为非正整数;正有理数和零统称为非负有理数;负有理数和零统称为非正有理数。
预防导学
数轴、相反数和绝对值(
一、预习新知
1、什么是相反意义的量?
2、有理数如何分类?
二、预习点拨
探究与反思
探究任务一:数轴的画法和作用
【反思】(1)数轴是一条怎样的直线?
(2)怎样用数轴上的点表示有理数?
探究任务二:利用数轴理解相反数的意义
【反思】(1)数轴上表示互为相反数的两个点所在的位置有什么特点?
(2)怎样求一个数的相反数?
探究任务三:利用数轴理解绝对值的意义
【反思】(1)绝对值是它本身的数是什么?绝对值是它的相反数的数是什么?
(2)如何利用数轴比较两个有理数的大小?
同步练习
(答题时间:60分钟)
一、选择题。
1、在-1、0、1、2这四个数中,既不是正数也不是负数的是(
)
A. -1 B.
2、小明的爸爸开的小店昨日获利120元,在每日收支账本上写了“120元”,今天小店亏了20元,他应记作(
)
A. 20元 B.
-20元 C.
-20 D. 100元
3、如果+10%表示“增加10%”,那么“减少8%”可以记作( )
A. -18% B.
-8% C.
+2% D. +8%
4、某工厂计划每月生产800吨产品,二月份生产了750吨,那么它超额完成(
)
A. -50吨 B.
-750吨 C.
50吨 D. 750吨
5、下列说法正确的是(
)
A. “黑色”和“红色”是具有相反意义的量
B.
“快”和“慢”是具有相反意义的量
C.
“向北
D. “+
*6、下面关于“
(1)是整数,也是有理数;(2)不是正数,也不是负数;(3)不是整数,是有理数;(4)是整数,不是自然数。
A. 3个 B.
2个 C.
1个 D. 0个
*7、下列说法正确的个数有(
)
(1)0是整数;(2)-1是负分数;(3)3.2不是正数;(4)自然数一定是正数;(5)负分数一定是负有理数。
A. 1个 B.
2个 C.
3个 D. 4个
**8、某项科学研究,以45分钟为1个时间单位,并记每天上午10时为0,10时以前为负,10时以后为正,如9∶15记为-1,10∶45记为1等。则上午7∶45应记为(
)
A. 3 B.
-
二、填空题。
9、小明的姐姐在银行工作,她把存入4万元记做+4万元,那么支取2.5万元应记做__________,-3万元表示:__________。
10、一种零件的长在图纸上标示为:20±0.01(单位:mm),表示这种零件的长应是
11、在有理数:-1,2.5,0,1,1,-15中,整数有__________。
**12、下列语句:①所有整数都是正数;②所有正数都是整数;③小学学过的数都是非负数;④奇数都是正数;⑤分数是有理数;⑥在有理数中,不是负数就是正数;⑦非正整数是零和负整数。其中正确的语句是__________,不正确的语句是__________。(只写序号)
三、计算题。
13、说明下列每句话的实际意义。
(1)支出-50元;(2)向西走-
(3)成本增加-10%;(4)温度上升-
(5)海拔-
14、工厂生产的乒乓球是有规定的,不过在实际生产中有的可能轻一点,有的可能重一点,比标准重
*15、判断数的属性,在适当的空格里面画“√”。
|
正整数 |
负整数 |
整数 |
正分数 |
负分数 |
分数 |
有理数 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2.9 |
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
1081 |
|
|
|
|
|
|
|
-0.000
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+60 |
|
|
|
|
|
|
|
**16、下列各组数具有一定的规律性,请你根据规律写出后面的3个数,并求出第15个数、第100个数、第101个数。
(1)0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,_____,_____,_____,…
(2)-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,_____,_____,_____,…
试题答案
一、选择题:
1、B
2、B 解析:注意带单位。
3、B
4、A 解析:根据题意,一般把计划生产800吨记作“
5、C 解析:“黑”、“红”,“快”、“慢”表示相反的意义,但不是量,D中没有规定向哪边为正,则“+
6、B 解析:(1)和(2)正确。注意自然数包括正整数和零。
7、C 解析:(1)、(2)、(5)正确。
8、B 解析:由10时到7∶45即是由10时逆时针方向转了3个45分钟。或从7∶45到10时用了2小时15分钟=3×45分钟。
二、填空题:
9、-2.5万元,支取3万元 解析:注意不要漏掉单位。
10、
11、-1,0,1,-15。
12、③⑤⑦,①②④⑥ 解析:要正确理解有理数的有关概念,利用相关概念来求解,如④奇数也有正、负之分,故错;⑥零是一个特殊的数,要考虑零的存在及其特殊性,该语句忽略了这点,所以不对。
三、计算题
13、解:(1)收入50元;(2)向东走
14、解:在这10个乒乓球中,
15、解:
|
正整数 |
负整数 |
整数 |
正分数 |
负分数 |
分数 |
有理数 |
|
|
|
|
√ |
|
√ |
√ |
-5 |
|
√ |
√ |
|
|
|
√ |
-3 |
|
|
|
|
|
|
√ |
0 |
|
|
√ |
|
|
|
√ |
2.9 |
|
|
|
√ |
|
√ |
√ |
37 |
√ |
|
√ |
|
|
|
√ |
1 081 |
√ |
|
√ |
|
|
|
√ |
-0.000
1 |
|
|
|
|
√ |
√ |
√ |
+60 |
√ |
|
√ |
|
|
|
√ |
16、解:(1)0,-1,0,第15个数是0,第100个数是-1,第101个数是0。(2)-9,10,-11,第15个数是-15,第100个数是100,第101个数是-101。