一、学习目标：

1. 理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行计算。

2. 理解重力势能的变化和重力做功的关系，知道重力做功与路径无关。

3. 理解重力势能的相对性和重力势能变化的绝对性。

二、学习要点：

1. 重力势能及动能的概念。

2. 重力势能的变化和重力做功的关系。

三、课程精讲：

问题1：水力发电站是利用水来发电的，水是利用什么来发电的呢？高处的石头欲落下，你为什么会害怕，并急于躲开呢？

问题2：怎样认识重力势能？

（一）重力做功的特点：

1. 根据功的计算公式分别计算甲、乙、丙三种情况中小球由A到B过程中重力所做的功。

2. 如果小球沿下图所示的任意曲线由A运动到B的过程中，重力所做的功又应如何计算呢？

小结：重力做功的特点：

重力对物体所做的功只跟物体的初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关。物体沿闭合的路径运动一周，重力做功为零，其实恒力（大小方向不变）做功都具有这一特点。

【典型例题】

问题1、重力做功的特点的理解问题：

例1. 沿着高度相同，坡度不同，粗糙程度也不同的斜面将同一物体分别从底端拉到顶端，下列说法正确的是（）

A. 沿坡度小的斜面运动时物体克服重力做功多

B. 沿坡度大，粗糙程度大的斜面运动物体克服重力做功多

C. 沿坡度小，粗糙程度大的斜面运动物体克服重力做功多

D. 不管沿怎样的斜面运动，物体克服重力做功相同，物体增加的重力势能也相同

答案：D

（二）重力势能的概念：

问题：重力势能应该与哪些量有关？

结合日常生活实例进行说明。

小结：（1）定义：物体由于被举高而具有的能。

（2）公式：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。

h是物体重心到参考平面的高度。

（3）单位：焦（J）。

问题：说说放在书柜中第二层的一本书相对于不同的参考平面，它的重力势能有什么不同？

（4）重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关，实际上是由h为相对量引起的。参考平面的选择不同，重力势能的值也就不同，一般取地面为参考平面。

在参考平面内的物体，；

在参考平面上方的物体，；

在参考平面下方的物体，。

（5）重力势能是标量，它的正、负值表示大小。

（6）重力势能是地球和物体共有的。

问题2、重力势能概念的理解：

例2. 下列关于重力势能的说法，正确的是（）

①重力势能是物体和地球共同具有的，而不是物体单独具有的

②在同一高度，将物体以v₀向不同方向抛出，落地时物体减少的重力势能一定相等

③重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功

④在地面上的物体，它的重力势能一定为零

A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④

答案：A

变式：

例3. 如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设以桌面处为参考平面，则小球落到地面时瞬间的重力势能为（）

A. mgh B. C. D.

答案：D

问题3、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性的理解：

例4. 质量为20kg的薄铁板平放在二楼的地面上，二楼地面与楼外地面的高度差为5m。这块铁板相对二楼地面的重力势能为___________J，相对楼外地面的重力势能为___________J；将铁板提高1m，若以二楼地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了_______________J；若以楼外地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了_____________J。

答案：0 10³ 200 200

变式1：

例5. 有关重力势能的变化，下列说法中正确的是（）

A. 物体受拉力和重力作用向上运动，拉力做功是1J，但物体重力势能的增加量有可能不是1J

B. 从同一高度将某一物体以相同的速率平抛或斜抛，落到地面上时，物体重力势能的变化是相同的

C. 从同一高度落下的物体到达地面，考虑空气阻力和不考虑空气阻力的情况下重力势能的减少量是相同的

D. 物体运动中重力做功是－1J，但物体重力势能不是1J

答案：ABC

（三）重力势能的变化和重力做功的关系

问题1：定性分析图中小球从1→2和从2→1过程中，重力做功的情况，重力势能变化的情况？

问题2：定量分析重力势能的变化和重力做功的关系？

问题3：（1）小球沿光滑斜面下滑到底端，计算重力做功、重力势能的变化量。（2）如果斜面粗糙则结果如何？

小结：

1. 物体的高度下降时，重力做正功，重力势能减少，重力势能减少的量等于重力所做的功；

2. 物体的高度增加时，重力做负功，重力势能增加，重力势能增加的量等于物体克服重力所做的功。

3. 重力势能变化只与重力做功有关，与其他力做功无关。

概念比较项目	重力做功	重力势能
物理意义	重力对物体所做的功	由于物体与地球的相互作用，且由它们之间的相对位置决定的能
表达式
影响大小的因素	重力G和初、末位置的高度差△h	重力mg和某一位置的高度h
特点	只与初、末位置的高度差有关，与路径及参考平面的选择无关	与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面会有不同的重力势能值
特点	过程量	状态量
联系	重力做功过程是重力势能变化的过程，重力做正功，重力势能减小，重力做负功，重力势能增加，且重力做了多少功，重力势能就变化了多少，即

问题4、重力做功与重力势能变化关系问题

例6. 一质量为m，棱长为a的正方体木块质量分布均匀，木块与地面间动摩擦因数，为使木块在水平地面上移动距离a，可以采用将它翻倒或向前匀速平移两种方法，试比较哪种方法做功少一点。

解析：若用翻倒的方法移动距离a，可以以棱为转动轴翻动一次，翻动时要将重心抬高，则要克服重力做功。若匀速平移则水平拉力F等于滑动摩擦力，，则移动距离为a时，做功，显然，即翻倒的方法做功少一点。

变式1：

例7. 如图所示，有一连通器，左右两管的横截面积均为S，内盛密度为ρ的液体，开始时两管内的液面高度差为h。若打开底部中央的阀门K，液体开始流动，最终两液面相平。在这一过程中，液体的重力势能变化了多少？是增加了还是减少了？如果是减少了，减少的重力势能到哪里去了？

答案：全部液体重力势能减少了，减少的重力势能全部转化为系统的内能。

变式2、

例8. 在地面上平铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，若将砖一块一块竖直叠放起来，至少要做多少功？

解析：取n块砖为整体研究对象，如图所示叠放起来后整体重心距地面，原来距地面，故有

（四）动能

（1）概念：物体由于运动而具有的能叫动能。物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半。

（2）定义式：，v是瞬时速度。

（3）单位：焦（J）

（4）动能概念的理解

①动能是标量，且只有正值。

②动能具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能。

③动能具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同的瞬时值，也就具有不同的动能，一般都以地面为参考系研究物体的运动。

（5）动能的变化：动能只有正值，没有负值，但动能的变化却有正有负。“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量。动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；动能的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功。

例9. 关于对动能的理解，下列说法正确的是（）

A. 动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能

B. 动能总为正值

C. 一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化；但速度变化时，动能不一定变化

D. 动能不变的物体，一定处于平衡状态

答案：ABC

例10. 改变汽车的质量和速度，都能使汽车的动能发生变化，则下列说法中正确的是（）

A. 质量不变，速度增大到原来的2倍，动能增大为原来的2倍

B. 速度不变，质量增大到原来的2倍，动能增大为原来的2倍

C. 质量减半，速度增大到原来的4倍，动能增大为原来的2倍

D. 速度减半，质量增大到原来的4倍，动能不变

答案：BD

四、知识提炼导图

五、目标期望

希望通过学习，同学们能够深刻领会重力势能及动能的概念，理解重力做功的特点及重力做功与重力势能变化的关系。

【同步练习】（答题时间：45分钟）

1. 下列关于重力势能的说法正确的是（）

A. 重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的

B. 重力势能的大小是相对的

C. 重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功

D. 在地面上的物体，它的重力势能一定等于零

2. 如图所示，一个质量为M的物体放在水平面上，物体上方连接一个长为L、劲度系数为k的轻弹簧，现用手拉着弹簧P点缓慢向上移，直到物体离开地面一段距离，在这一过程中，P点位移是H（设开始时弹簧处于原长），则物体的重力势能增加了（）。

A. B.

C. D.

3. 如图所示，一条铁链长为2m，质量为10kg，放在水平地面上，拿住一端提起铁链直到铁链全部离开地面的过程中，物体克服重力做功为多少？物体的重力势能变化了多少？

4. 质量为5kg的钢球，从离地面100m高处自由下落1s，1s内钢球重力势能减少了___________J（g取10m/s²，选取地面为参考平面），1s末钢球的重力势能为__________J；如果选取地面上1m处的平面为参考平面，1s末它的重力势能为____________J；如果选取自由下落的出发点所在平面为参考平面，1s末重力势能为__________J。

5. 如图所示，直杆长为2L，中点有一转轴O，两端分别固定质量为2m、m的小球a和b，当杆从水平位置转到竖直位置时，小球a和b构成的系统重力势能如何变化？变化了多少？

6. 如图所示，长为L的细线拴一个质量为m的小球悬挂于O点下方，现将小球拉至与O点等高的位置且线恰被拉直。求放手后小球摆到O点正下方的过程中：

（1）球的重力做的功；

（2）线的拉力做的功；

（3）外力对小球做的总功。

7. 如图所示，劲度系数为k₁的轻质弹簧两端分别与质量为m₁、m₂的物块1、2连接，劲度系数为k₂的轻质弹簧上端与物块2连接，下端压在桌面上（不连接），整个系统处于平衡状态。现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中，物块2的重力势能增加了______________，物块1的重力势能增加了____________。

8. 如图所示，一个质量为m的木块，以初速度v₀冲上倾角为θ的斜面，沿斜面上升L的距离后又返回运动。若木块与斜面间的动摩擦因数为μ，求：

（1）木块上升过程中重力的平均功率是多少？木块的重力势能变化了多少？

（2）木块从开始运动到返回到出发点的过程中滑动摩擦力做的功是多少？重力做的功是多少？全过程重力势能变化了多少？

9. 如图所示，一风景区的峭壁上安装了一套小型索道车系统，将乘客送上和送下80m长的山坡，峭壁顶离地面车站的垂直高度为40m，整个系统由一上一下两个车厢组成，每个车厢质量为9000kg。它们通过山顶上一个巨大的滑轮由钢索相连，滑动中由电动机驱动。每个车厢受到的摩擦阻力恒为6000N。某次行程中有20位乘客在车厢X中下坡，另有8位乘客在车厢Y中上坡，每位乘客平均质量为70kg，电动机必须在整个行程中运行，g取。求：

（1）为什么车厢X失去的势能不足以将车厢Y提升到山顶？（空载情况下）

（2）整个车厢系统在这次行程中的势能变化是多少？

（3）克服摩擦阻力做的功是多少？

【试题答案】

1. A、B

解析：重力势能是由于地球和物体相互作用凭相对位置所具有，是地球和物体组成的系统所共有的，所以A正确。重力势能的大小没有绝对的数值，零势能面的位置选取不同，物体的重力势能就不同，所以说重力势能的大小是相对于零势能面而言的，B正确。重力势能等于零的物体仅能说明物体在零势能面上，完全可能对零势能面以下的物体做功，所以C不正确。在地面上的物体，只要零势能面不选在地面上，它的重力势能一定不等于零，所以D不正确。

2. C

解析：P刚开始上移时，弹簧伸长，而物体不动，直到P点上移后，弹簧不再伸长，物体才离开地面随弹簧一起上移，在上述过程中，物体重心上移的高度，所以重力势能增加了，故选项C正确。

点评：要求物体重力势能的增加量，应首先确定物体重心上移的距离。

3. 解析：铁链从初状态到末状态，它的重心位置提高了，因而物体克服重力所做的功为，铁链的重力势能增加了98J。

4. 250 4750 4700 －250

解析：1s内钢球下落的距离为，减少的重力势能。1s末钢球离地面的高度为。

1s末钢球的重力势能为：

1s末钢球离地面上1m处的平面的高度为

此时钢球的重力势能为

1s末钢球离出发点的竖直距离为5m

此时的重力势能为

5. 解析：b球重力势能增加2mgL，a球重力势能减少mgL，所以系统的重力势能增加mgL。

6. 解析：（1）小球的重力做的功与路径无关，

（2）在小球下摆的过程中，线的拉力F的大小和方向都在变化，是一个变力。将小球运动的圆弧轨迹无限分割，每一小段变成与圆弧相切的一小段直线，如答图所示。不难看出，在每一小段上线的拉力F与这一小段的位移方向总是垂直，所以，在每一小段上，线的拉力做功为零。可以推知，在小球沿着圆弧下摆的过程中，线的拉力做的功为零，即线的拉力不做功。