【本讲教育信息】
一、教学内容
第七节 向心力；第八节 生活中的圆周运动
二、知识要点：
1. 理解向心加速度的概念及表达式
2. 掌握匀速圆周运动的条件及性质
3. 知道向心力大小与哪些因素有关。理解公式的确切含义，并能用来进行计算
4. 理解匀速圆周运动的规律，能用所学知识解决生活中的问题
要点导学
一、向心加速度
（一）速度变化量
速度的变化是描述速度改变的多少，它等于物体的末速度和初速度的矢量差，既
，它表示速度变化的大小和变化的方向，所以速度的变化量也是矢量,即有大小也有方向，在匀加速直线运动中，
，
的方向与初速度
的方向相同；在匀减速直线运动中，
，的方向与初速度方向相反。
加速度是描述速度变化快慢和方向的物理量，加速度的方向同速度变化的方向一致。
无论初末速度是否在同一直线，速度变化量为从初速度末端指向末速度末端的矢量。
（二）向心加速度
1. 定义：做匀速圆周运动的物体，加速度的方向总是指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
2. 向心加速度大小的表达式 α＝
。
3. 向心加速度的方向：总是指向圆心。
4. 物理意义：描述物体速度方向变化快慢的物理量。
小结：
①做匀速圆周运动的物体其向心加速度大小不变，方向时刻在变
②匀速圆周运动是变速曲线运动，但不是匀变速曲线运动
二、向心力
1. 定义：做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于物体受到总是指向圆心的合力作用，这个合力叫做向心力。
2. 公式：根据牛顿第二定律F=ma，则
F向＝
由向心力公式
，可知，做匀速圆周运动物体的向心力与物体的质量、线速度或角速度、半径有关系。当线速度一定时，向心力与半径成反比；当角速度一定时，向心力与半径成正比。
3. 方向：总是指向圆心
4. 向心力的作用效果：改变速度的方向
注意：①向心力的方向指向圆心，速度方向沿圆弧切线方向，即向心力方向总与速度方向垂直，没有沿切线方向改变速度大小的力，故其作用只是改变速度的方向，不改变速度的大小。
②向心力方向总与速度方向垂直，所以向心力对物体不做功，不改变物体的动能。
③向心力是按照效果命名的，它不是一种特殊性质的力。凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
5. 物体做匀速圆周运动的条件
合外力大小不变，方向总是与速度方向垂直且指向圆心。
在匀速圆周运动中，合力等于向心力，在非匀速圆周运动中合力不一定等于向心力，因为合力既有改变速度方向的效果（即向心力的效果）又有改变速度大小的效果（即切向分力的效果）。但在某些位置，如在各力都与运动方向垂直时（无切向分力时），合力也等于向心力。
6. 关于向心力的来源问题
在匀速圆周运动中合外力一定是向心力；非匀速圆周运动中，沿半径方向的合外力提供向心力。
向心力是按力的效果命名的，充当向心力的力可以是重力、弹力，摩擦力等各种力，也可以是各力的合力，或某力的分力。对各种情况下向心力的来源应明确。
例如：
（1）绳系小球在光滑水平面内转动：向心力由绳的弹力提供。
（2）物体在转盘上随转盘一起转动：向心力由静摩擦力提供。
（3）如图所示的圆锥摆，向心力是重力与绳子的拉力的合力提供。
7. 牛顿第二定律在圆周运动中的应用
（1）将牛顿第二定律
用于匀速圆周运动，F就是向心力，
就是向心加速度，即得：
（2）应用步骤
①确定研究对象，确定轨道平面和圆心位置从而确定向心力的方向。
②选定向心力方向为正方向。
③受力分析（不要把向心力作为某一性质的力进行分析）。
④由牛顿第二定律列方程。
⑤求解并说明结果的物理意义。
［典型例题］
例1. 如图所示，O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，Ol轮的半径为R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点，当皮带轮转动时，（设转动过程中不打滑）则
A. M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度
B. M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度
C. M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度
D. M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度
解析
因为两轮的转动是通过皮带传动的，又皮带在传动过程中不打滑，故两轮边缘各点的线速度大小一定相等。在大轮边缘上任取一点Q，因为R>r，所以由
可知
。再比较Q、N两点的向心加速度大小，因为Q、N是在同一轮上的两点，所以角速度
相等，又因为
，则由
可知，
。综上可见，
。
答案 A
例2. 如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘—起做匀速圆周运动，则
A. A受重力、支持力
B. A受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C. A受重力、支持力、向心力、摩擦力
D. 以上均不正确
解析 A物体随水平转台做匀速圆周运动时，受到重力G和平台对它的支持力N，是一对平衡力。故不能成为维持物体做匀速圆周运动所需要的向心力。那么是什么力提供向心力呢?由于A物体仅与平台接触，除了受重力G和支持力N外，只可能受到平台对它的静摩擦力的作用。根据静摩擦力的特点，该静摩擦力的方向应与A相对于平台运动趋势方向相反，但这个相对运动趋势方向不易判断，但我们可以由牛顿第二定律及匀速圆周运动的特点来分析。因物体A的加速度必指向圆心，故产生加速度的静摩擦力必指向圆心，所以B正确，C选项的错误在于多加了一个向心力。应当明确这里的向心力就是由静摩擦力来充当的。
答案 B
说明 做匀速圆周运动的物体需要向心力，但不受向心力，向心力的来源来自合外力。
例3. 水平面内圆周运动——火车转弯
如图所示，两轨间距为
，内外轨水平高度差为
，转弯处轨道半径为R，向心力由火车重力mg和轨道对火车支持力N的合力提供。
，
故 
，
则
，当，选定，则
被惟一确定，即为规定的行驶速度。
（1）当火车行驶速率等于
时. 
，内外轨对轮缘没有压力；
（2）当火车行驶速度大于时，
，外轨道对轮缘有侧压力；
（3）当火车行驶速度小于时，
，内轨道对轮缘有侧压力。
例4. 竖直平面内圆周运动——汽车过弧形拱
汽车以速度过半径为R的弧形（凸或凹）桥时，在最高点（或最低点）处，由重力mg和桥面支持力FN的合力提供向心力。
（1）在凸形桥最高点如图所示，则有：
桥对车的支持力
据牛顿第三定律：车对桥压力大小
可以看出：在最高点车对桥的压力小于车本身重力mg，当
时，压力为零，当
时，车将脱离桥面。
（2）在凹形桥最低点如图所示，则有：
桥对车的支持力
据牛顿第三定律，车对桥压力大小为
可以看出：在最低点车对桥压力大于车本身重力mg
例5. 如图甲、乙所示，质量为m的物体，分别在半径为R的凸形和凹形圆面上做圆周运动，到达圆面的顶端和底端时速度均为，分别求出物体对圆面的压力。
甲 乙
解析 取球为研究对象，受力如图所示，则：
① 
②
得：
，
由牛顿第三定律，物体对圆面的压力：
，方向：指向圆心。
，方向：背离圆心。
答案 ，
8. 航天器绕地球的圆周运动
宇宙飞船等航天器在空中绕地球的运动可以近似看作是匀速圆周运动。若设宇宙飞船的轨道半径为R，宇宙飞船所在处的重力加速度为g，则宇宙飞船的运行速度为（此式的证明将在下一章学习）时航天员所受的引力和支持力的合力提供向心力，即：
即：座舱对航天员的支持力
，航天员处于完全失重状态。
9. 离心运动
（1）离心运动的定义
做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，叫做离心运动。
（2）离心现象条件分析
①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图中B所示。
②当产生向心力的合外力消失，F＝0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A所示。
③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，
，即合外力不足以提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与
圆周之间的一条曲线运动，如图中C所示。
（3）离心运动的应用和危害
利用离心运动制成离心机械，如：离心干燥器、洗衣机的脱水筒等。
汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太大；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力。
说明 若合外力大于所需的向心力，物体离圆心将越来越近，即为近心运动。
三、一般曲线运动
运动轨迹既不是抛物线，也不是圆的运动，可称为一般曲线运动。曲线运动的问题的处理方法：把曲线分割成许多极短的小段，每一段都可以看作一小段圆弧。这些圆弧具有不同的半径。对每一小段都可以采用圆周运动的分析方法进行处理。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
1. 在平直公路上行驶的汽车，初速度为
，方向向东，经一段时间后速度变为
，方向向西，其速度变化量为，、、这三个量的关系可以用一个矢量图表示，下面四个图中正确的是 （ ）
2. 飞机做曲线运动表演，初速度为，经时间
速度变为，速度变化量与和的方向的关系如下图所示，其中正确的是 （ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
3、在匀速圆周运动中，下列不变的物理量是（ ）
A. 角速度 Ｂ. 线速度
Ｃ. 向心加速度
Ｄ. 周期
4、关于匀速圆周运动的说法，以下说法正确的是（ ）
A. 因为a＝
。所以向心加速度与半径成反比
B. 因为a＝2r，所以向心加速度与半径成正比
C. 因为＝
，所以角速度与半径成反比
D. 因为＝2
n，所以角速度与转速成正比
5、关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ ）
A. 它们的方向都沿半径指向地心
B. 它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴
C. 北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D. 北京的向心加速度比广州的向心加速度小
6、质量一定的物体在做匀速圆周运动时，它所需的向心力大小一定 （ ）
A. 跟角速度的平方成正比 B. 跟线速度的平方成正比
C. 跟圆半径成反比 D. 跟线速度与角速度的乘积成正比
7、物体做匀速圆周运动的条件是 （ ）
A. 物体有一定的初速度，且受到一个始终和初速度垂直的恒力作用
B. 物体有一定的初速度，且受到一个大小不变，方向变化的力的作用
C. 物体有一定的初速度，且受到一个方向始终指向圆心的力的作用
D. 物体有一定的初速度，且受到一个大小不变方向始终跟速度垂直的力的作用
8、一物体在水平面内沿半径 R＝
9、一根
10、圆盘以角速度ω＝4rad/s绕轴匀速转动, 一质量为m＝
11、质量为
千克的汽车，以
12、一半径为R的圆筒绕其中心轴OO1匀速转动，筒内壁上紧挨着的一个物体与筒一起运动，相对筒无滑动， 物体与圆桶间的动摩擦因数为μ，现要使物体不下落，则圆桶转动的角速度ω至少为多少?
13、当汽车通过拱桥顶点的速度为
【试题答案】
1、C 2、D 3、AD 4、D 5、BD
6、D 7、D
8、0.2 1
2
9、F＝4N v＝
10、F＝0.96N 
11、F＝5000N v＝
12、
13、v＝