【本讲教育信息】

一. 教学内容：

直线与直线的方程

1、直线的倾斜角和斜率；

2、直线的方程；

3、两条直线的位置关系；

4、两条直线的交点；

5、平面直角坐标系中的距离公式

二. 学习目标：

1、结合具体图形探索确定直线的几何要素，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据斜率判定两条直线平行或垂直；

2、掌握几种形式的直线方程，体会斜截式与一次函数的关系；

3、掌握利用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；

4、经历结合具体图形探索确定直线位置的几何要素的过程；经历用代数方法刻画直线斜率的过程；经历由直线上一点和直线的斜率推导直线方程的过程；

5、初步了解解析几何解决问题的基本方法，体会“数形结合”的思想。

三. 知识要点：

（一）直线的倾斜角和斜率

1、确定直线位置的几何条件：在平面直角坐标系中，已知直线上一点和这条直线的方向。

2、直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正向）按逆时针方向绕着交点旋转到与直线l重合时所成的角，叫作直线l的倾斜角；当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0。若倾斜角为α，则α∈。

3、斜率：不是90^o的直线的倾斜角的正切值称为该直线的斜率，记作k，即k＝tanα，α∈且α≠。

当α∈时，k>0；

当α∈（，π）时，k<0；

当α＝时，斜率不存在。

思考：倾斜角和斜率分别是如何刻画直线的倾斜程度的？

4、过两点的直线斜率的计算公式：

设直线l上有两个不同的点：P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），其中x₁≠x₂。

（二）直线的方程

1、直线方程的点斜式：已知直线上一点P（x₀，y₀）及斜率k，则其方程为点斜式，如下

思考：若该直线的斜率不存在呢？

2、直线方程的斜截式：已知直线的斜率k，以及直线与y轴交点的纵坐标b（——一般称为纵截距），则直线方程称为斜截式，如下

3、直线方程的两点式：已知直线上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），则其方程称为两点式，如下

思考：若P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）两点的坐标中有相等的值呢？

4、直线方程的截距式：已知直线与x轴、y轴交点的横坐标a与纵坐标b（分别称为该直线的横截距与纵截距），则直线方程称为截距式，如下

说明：实际上，斜截式是点斜式的特殊情形，截距式是两点式的特殊情形。请与同伴交流你的看法。

5、直线方程的一般式：关于x，y的二元一次方程

Ax＋By＋C＝0，A²＋B²≠0

表示一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式。

思考：以上直线方程的四种特殊形式与一般式有何区别和联系？

（三）两条直线的位置关系

说明：一般地，由于直线的斜率可能不存在，因此，在研究直线位置关系的时候，如果通过点斜式方程或斜截式方程去研究，首先要考虑斜率是否存在；其次，建议同学们通过直线方程的一般式去研究位置关系，有如下结论：

    对不重合的两直线l₁：A₁x＋B₁y＋C₁＝0，l₂：A₂x＋B₂y＋C₂＝0，则：系数的交叉积相等，两直线平行；系数对应积的和为零，两直线垂直，即当：A₁B₂＝A₂B₁时，这两条直线互相平行；‚A₁A₂＋B₁B₂＝0时，两直线互相垂直。这个规律和以后通过坐标研究向量位置关系的规律是相似的。

（四）两条直线的交点：联立两直线的方程，求其公共解即为交点坐标。

（五）点到直线的距离公式：P（x₀，y₀）到直线Ax＋By＋C＝0的距离为

（六）两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C₁＝0与直线Ax＋By＋C₂＝0的距离为

（七）两条直线所成的角：两条直线相交所形成的角中不大于直角的角θ，简称夹角；设 与的夹角为θ，、 的斜率分别为 则

（八）过两条直线交点的直线系方程：过两条相交直线l₁：A₁x＋B₁y＋C₁＝0，l₂：A₂x＋B₂y＋C₂＝0的交点的所有直线称为一个直线系，其统一方程形式为：λ（A₁x＋B₁y＋C₁）＋μ（A₂x＋B₂y＋C₂）＝0，其中λ、μ不同时为0。

【典型例题】

考点一  研究直线的倾斜角

例1. 已知直线l₁的倾斜角为α，与l₁关于x轴对称的直线l₂的倾斜角为        。

解：

考点二 研究直线的斜率

例2. 已知直线l过点P（－1，2），且与以A（－2，－3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线 l的斜率的取值范围。

分析：可采用数形结合的方法。

解：过点P作PC与y轴平行。当直线由PA变化到PC时，它的倾斜角由k_PA变化到＋∞；当直线由PC变化到PB时，它的倾斜角由－∞变化到k_PB，故直线l的斜率的取值范围是

考点三  求直线方程

例3. 直线在y轴上的截距为3，且倾斜角α的正弦值为，求直线的方程。

    解：

    ∴直线的斜率

    故所求直线的方程为

    ，或

说明：确定一条直线需要两个独立条件，本题首先已明确截距，故由斜截式只须求斜率即可。

例4. 求过点P（3，4），且在两坐标轴上截距相等的直线方程。

解：截距均为0：；

    ‚截距a≠0：设直线方程为x＋y＝a，又过点（3，4），故a＝3＋4＝7，故直线方程为x＋y＝7。

说明：对截距式方程的应用要注意截距为零和不为零两种情形，一般情况下不能统一处理。

例5. 过点P（2，1）作直线交轴、轴正方向于A、B两点，求使的面积最小时的直线的方程。

解：设所求直线方程为，则由直线过点P（2，1），得

即，由，得

所以

当且仅当，即时，取得最小值为4

此时所求直线的方程为，即

例6. 求过与的交点且与直线平行的直线方程。

解：设与交点的直线方程为

即

因为所求直线与平行

所以，解得

将代入（*），得

所求直线方程为

考点四  根据直线方程判断两直线的位置关系

例7. 求证：不论为什么实数，直线都通过一定点。

证明：取＝1，得直线方程＝－4；再取＝，得直线方程为x＝9.从而得两条直线的交点为（9，－4），又当＝9，＝－4时，有_，即点（9，－4）在直线上，故直线都通过定点（9，－4）。

说明：实际上，本题若从直线系的角度考虑，将十分明了。将直线方程变形为m（x＋_{2y－1）＋（－x－y＋5）＝0，由直线系方程的知识可知：这是经过两条已知直线x＋2y－1＝0和－x－y＋5＝0的交点的直线系。}

_{例8. 已知直线}与_{互相垂直，求a的值。}

解：∵，，，且两直线互相垂直，

∴，解之得 。

说明：由一般式研究两直线的位置关系可避免对斜率的存在性进行讨论。

考点五  根据直线方程求两直线交点及所成角

例9. 求直线l₁：y＝－2x＋3和l₂：y＝x－3的夹角θ的正切值及交点坐标。

解：k₁＝－2，k₂＝1。

_{联立方程可解得交点坐标为（2，－1）。}

考点六  求点到直线的距离

例10. 求点P₀（－1，2）到直线：（1）2x＋y－10＝0，（2）3x＝2的距离．

解：（1）根据点到直线的距离公式，得

（2）因为直线3x＝2平行于y轴，所以

［本讲涉及的主要数学思想方法］

解析几何的基本思想是通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，用代数的方法加以研究，这就是解析法。解析法不仅为解决几何问题提供了一种便捷的方法，而且也为一些代数问题提供了几何背景和解决思路，是数形结合思想的重要体现。

【模拟试题】（答题时间：80分钟）

一、选择题

1、（2008全国）若直线通过点，则（    ）

A.      B.

C.     D.

2、（2008全国）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（    ）

A. 3      B. 2       C.     D.

3、（2008四川）直线绕原点逆时针旋转90°，再向右平移１个单位，所得到的直线为（ 　　 ）

A. 　　 B. 　

C. 　 　  D.

4、（2008全国）原点到直线的距离为（  　  ）

A. 1      B.       C. 2      D.

5、（2008福建）“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的（　　　）

A. 充分而不必要条件                 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件                         D. 既不充分也不必要条件

6、（2008海南）点P（x，y）在直线4x ＋ 3y ＝ 0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（   　 ）

A. [0，5]        B. [0，10]

C. [5，10]           D. [5，15]

7、已知有如下说法，①平面直角坐标系中的每一条直线都有确定的倾斜角；②平面直角坐标系中的每一条直线都有确定的斜率；③平面直角坐标系中两条平行的直线，其斜率一定相等；④平面直角坐标系中垂直的两条直线，其斜率的乘积一定为－1。正确的是（ 　   ）

A. ①②      B. ③④    C. ①      D. ①③④

二、填空题

8、点O（0，0）到直线l：（1＋2k）x＋（3＋4k）y＋5＋6k＝0的距离的最大值d＝        。

9、设A（1，4）、B（4，－1）、C（－2，－3），则△ABC中BC边上的高所在的直线方程为_____________。

三、解答题

10、求证：点A（1，5）、B（0，2）、C（2，8）共线。

11、一束光线从点A（－2，3）射入，经x轴上点P反射后，反射光线经过点B（5，7），求点P的坐标。

12、已知直线l过点（3，－2），且在两坐标轴上的截距相等，求直线方程。

13、在直线l：3x－y－1＝0上求一点Ｐ，使得P点到A（4，1）和Ｂ（0，4）的距离之差最大；

‚使得Ｐ点到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。

【试题答案】

一、1~5：DAADC　6~7：BC

二、8、

9、3x＋y－7＝0

三、

10、提示：证明直线AB和直线AC的斜率相等即可。

11、易求得A关于x轴的对称点C（－2，－3），且C点在反射光线所在的直线上，即B、C、P三点共线，设P（x，y），由k_AP＝k_PB可求得P点坐标为（0.1，0）。

12、由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为k，可得直线方程为：y＋2＝k（x－3）。

令x＝0，得y＝－2－3k；令y＝0，得x＝＋3.由题意：－2－3k＝＋3解得：

。

所以，直线方程为x＋y－1＝0或 2x＋3y＝0。

13、略解：求得B关于l的对称点M（3，3），从而求出直线ＡＭ的方程为2x＋y＝9，与直线l的方程联立，可解得P点坐标为（2，5）。

_{‚如图，设C关于l的对称点为N，可求得}

故AN所在直线方程为19x＋17y＝93，AN与l的交点坐标为即为所求的QP点坐标。